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# 统计代写|抽样调查代考Survey sampling代写|Raj’s Estimator t5

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## 统计代写|抽样调查代考Survey sampling代写|Raj’s Estimator t5

Another popular strategy is due to RAJ $(1956,1968)$. The sampling scheme is called probability proportional to size without replacement (PPSWOR) with $P_i$ ‘s $\left(02)$ draw a unit $i_n\left(\neq i_1, \ldots, i_{n-1}\right)$ is chosen with probability
$$\frac{P_{i_n}}{1-P_{i_1}-P_{i_2}-\ldots,-P_{i_{n-1}}}$$
out of the units of $U$ minus $i_1, i_2, \ldots, i_{n-1}$. Then,
\begin{aligned} e_1 & =\frac{Y_{i_1}}{P_{i_1}} \ e_2 & =Y_{i_1}+\frac{Y_{i_2}}{P_{i_2}}\left(1-P_{i_1}\right) \ e_j & =Y_{i_1}+\ldots+Y_{i_{j-1}}+\frac{Y_{i_j}}{P_{i_j}}\left(1-P_{i_1}-\ldots-P_{i_{j-1}}\right) \end{aligned}
$j=3, \ldots, n$ are all unbiased for $Y$ because the conditional expectation
\begin{aligned} & E_c\left[e_j \mid\left(i_1, Y_{i_1}\right), \ldots,\left(i_{j-1}, Y_{i_{j-1}}\right)\right] \ & \quad=\left(Y_{i_1}+\ldots,+Y_{i_{j-1}}\right)+\sum_{\substack{k=1 \ \left(\neq i_1, \ldots, i_{j-1}\right)}}^N Y_k=Y . \end{aligned}
So, unconditionally, $E_p\left(e_j\right)=Y$ for every $j=1, \ldots, n$, and
$$t_5=\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n e_j,$$
called Raj’s (1956) estimator, is unbiased for $Y$.

## 统计代写|抽样调查代考Survey sampling代写|Hartley–Ross Estimator t7

Another estimator based on SRSWOR due to HARTLEY and Ross (1954), called Hartley-Ross estimator (HRE) is defined as follows.
Let
\begin{aligned} R_i & =\frac{Y_i}{X_i}, i=1,2, \ldots, N \ \bar{R} & =\frac{1}{N} \sum \frac{Y_i}{X_i}, \bar{r}=\frac{1}{n} \sum_{i \in s} R_i \end{aligned}
Define
\begin{aligned} C & =\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N\left[\frac{Y_i}{X_i}-\frac{1}{N} \sum_{j=1}^N \frac{Y_j}{X_j}\right]\left[X_i-\frac{1}{N} \sum_{j=1}^N X_j\right] \ & =\frac{1}{N} \sum_1^N Y_i-\frac{X}{N} \frac{1}{N} \sum_1^N \frac{Y_i}{X_i}=\bar{Y}-\bar{X} \bar{R} . \end{aligned}
Then $\bar{r}$ and
$$\hat{C}=\frac{N-1}{N} \frac{1}{n-1} \sum_{i \in s}\left(R_i-\bar{r}\right)\left(X_i-\bar{x}\right)=\frac{(N-1) n}{N(n-1)}(\bar{y}-\bar{r} \bar{x})$$
based on SRSWOR in $n$ draws are unbiased estimators of $\bar{R}$ and $C$, respectively. So,
$$\bar{X} \bar{r}+\frac{(N-1) n}{N(n-1)}(\bar{y}-\bar{r} \bar{x})$$
is an unbiased estimator of $\bar{Y}$ and the HRE
$$t_7=X \bar{r}+\frac{(N-1) n}{N(n-1)}(\bar{y}-\bar{r} \bar{x})$$
is an unbiased estimator of $Y . t_7$ is regarded as a ratio-type estimator that is exactly unbiased for $Y$. Other strategies will be mentioned in subsequent chapters.

# 抽样调查代写

## 统计代写|抽样调查代考Survey sampling代写|Hartley–Ross Estimator t7

HARTLEY和Ross(1954)提出的另一个基于SRSWOR的估计量，称为HARTLEY -Ross estimator (HRE)，定义如下:

\begin{aligned} R_i & =\frac{Y_i}{X_i}, i=1,2, \ldots, N \ \bar{R} & =\frac{1}{N} \sum \frac{Y_i}{X_i}, \bar{r}=\frac{1}{n} \sum_{i \in s} R_i \end{aligned}

\begin{aligned} C & =\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N\left[\frac{Y_i}{X_i}-\frac{1}{N} \sum_{j=1}^N \frac{Y_j}{X_j}\right]\left[X_i-\frac{1}{N} \sum_{j=1}^N X_j\right] \ & =\frac{1}{N} \sum_1^N Y_i-\frac{X}{N} \frac{1}{N} \sum_1^N \frac{Y_i}{X_i}=\bar{Y}-\bar{X} \bar{R} . \end{aligned}

$$\hat{C}=\frac{N-1}{N} \frac{1}{n-1} \sum_{i \in s}\left(R_i-\bar{r}\right)\left(X_i-\bar{x}\right)=\frac{(N-1) n}{N(n-1)}(\bar{y}-\bar{r} \bar{x})$$

$$\bar{X} \bar{r}+\frac{(N-1) n}{N(n-1)}(\bar{y}-\bar{r} \bar{x})$$

$$t_7=X \bar{r}+\frac{(N-1) n}{N(n-1)}(\bar{y}-\bar{r} \bar{x})$$

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