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数学代写|有限元方法代写finite differences method代考|The Galerkin method

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有限元方法finite differences method有限差分法将可能是非线性的常微分方程(ODE)或偏微分方程(PDE)转换成可以用矩阵代数技术解决的线性方程系统。现代计算机可以有效地进行这些线性代数计算,再加上其相对容易实现,使得FDM在现代数值分析中得到了广泛的应用。今天,FDM与有限元方法一样,是数值解决PDE的最常用方法之一。

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数学代写|有限元方法代写finite differences method代考|The Galerkin method

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|The Galerkin method

For the choice of weight function $\psi_i$ equal to the approximation function $\phi_i$, the weighted-residual method is known as the Galerkin method. When $A$ is a linear operator, the algebraic equations of the Galerkin approximation are
$$
\begin{gathered}
\sum_{j=1}^N A_{i j} c_j=F_i \
A_{i j}=\int_{\Omega} \phi_i A\left(\phi_j\right) d x d y, \quad F_i=\int_{\Omega} \phi_i\left[f-A\left(\phi_0\right)\right] d x d y
\end{gathered}
$$
We note that $A_{i j}$ are not symmetric (i.e., $A_{i j} \neq A_{j i}$ ).
In general, the Galerkin method is not the same as the Ritz method. This should be clear from the fact that the former uses the weighted-integral form whereas the latter uses the weak form to determine the coefficients $c_j$.
Consequently, the approximation functions used in the Galerkin method are required to be of higher order than those in the Ritz method. The method that uses the weak form in which the weight function is the same as the approximation function is sometimes called the weak-form Galerkin method, but it is the same as the Ritz method. The Ritz and Galerkin methods yield the same solutions in two cases: (i) when the specified boundary conditions of the problem are all of the essential type, and therefore the requirements on $\phi_i$ in the two methods become the same and the weighted-integral form reduces to the weak form; and (ii) when the approximation functions of the Galerkin method are used in the Ritz method.

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|The least-squares method

In least-squares method, we determine the parameters $c_j$ by minimizing the integral of the square of the residual $R$ in Eq. (2.5.55):
$$
\frac{\partial}{\partial c_i} \int_{\Omega} R^2\left(x, y, c_1, c_2, \cdots, c_n\right) d x d y=0
$$
Or
$$
\int_{\Omega} \frac{\partial R}{\partial c_i} R d x d y=0, i=1,2, \ldots, n
$$
Comparison of Eq. (2.5.59) with Eq. (2.5.56) shows that $\psi_i=\partial R / \partial c_i$. If $A$ is a linear operator, we have $\psi_i=\partial R / \partial c_i=A\left(\phi_i\right)$, and Eq. (2.5.59) becomes
$$
\begin{gathered}
\sum_{j=1}^N\left[\int_{\Omega} A\left(\phi_i\right) A\left(\phi_j\right) d x d y\right] c_j=\int_{\Omega} A\left(\phi_i\right)\left[f-A\left(\phi_0\right)\right] d x d y \
\sum_{j=1}^N A_{i j} c_j=F_i \
A_{i j}=\int_{\Omega} A\left(\phi_i\right) A\left(\phi_j\right) d x, \quad F_i=\int_{\Omega} A\left(\phi_i\right)\left[f-A\left(\phi_0\right)\right] d x
\end{gathered}
$$
Note that the coefficient matrix $A_{i j}$ is symmetric whenever $A$ is a linear operator, but it involves the same order of differentiation as in the governing differential equation $A(u)-f=0$.

数学代写|有限元方法代写finite differences method代考|The Galerkin method

有限元代写

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|The Galerkin method

对于权函数$\psi_i$等于近似函数$\phi_i$的选择,加权残差法称为伽辽金法。当$A$为线性算子时,伽辽金近似的代数方程为
$$
\begin{gathered}
\sum_{j=1}^N A_{i j} c_j=F_i \
A_{i j}=\int_{\Omega} \phi_i A\left(\phi_j\right) d x d y, \quad F_i=\int_{\Omega} \phi_i\left[f-A\left(\phi_0\right)\right] d x d y
\end{gathered}
$$
我们注意到$A_{i j}$不是对称的(即$A_{i j} \neq A_{j i}$)。
一般来说,伽辽金方法与里兹方法是不一样的。从前者使用加权积分形式而后者使用弱形式来确定系数$c_j$的事实中应该可以清楚地看出这一点。
因此,在伽辽金方法中使用的近似函数要求比在里兹方法中使用的近似函数具有更高阶。使用弱形式的方法,即权函数与近似函数相同的方法有时被称为弱形式伽辽金方法,但它与里兹方法相同。Ritz方法和Galerkin方法在两种情况下得到相同的解:(i)当问题的指定边界条件都是基本型时,两种方法对$\phi_i$的要求变得相同,加权积分形式化为弱形式;(ii)当伽辽金方法的近似函数用于里兹方法时。

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|The least-squares method

在最小二乘法中,我们通过最小化式(2.5.55)中残差$R$平方的积分来确定参数$c_j$:
$$
\frac{\partial}{\partial c_i} \int_{\Omega} R^2\left(x, y, c_1, c_2, \cdots, c_n\right) d x d y=0
$$
或者
$$
\int_{\Omega} \frac{\partial R}{\partial c_i} R d x d y=0, i=1,2, \ldots, n
$$
比较Eq.(2.5.59)和Eq.(2.5.56)可知$\psi_i=\partial R / \partial c_i$。如果$A$是线性算子,则有$\psi_i=\partial R / \partial c_i=A\left(\phi_i\right)$,式(2.5.59)变为
$$
\begin{gathered}
\sum_{j=1}^N\left[\int_{\Omega} A\left(\phi_i\right) A\left(\phi_j\right) d x d y\right] c_j=\int_{\Omega} A\left(\phi_i\right)\left[f-A\left(\phi_0\right)\right] d x d y \
\sum_{j=1}^N A_{i j} c_j=F_i \
A_{i j}=\int_{\Omega} A\left(\phi_i\right) A\left(\phi_j\right) d x, \quad F_i=\int_{\Omega} A\left(\phi_i\right)\left[f-A\left(\phi_0\right)\right] d x
\end{gathered}
$$
注意,当$A$是线性算子时,系数矩阵$A_{i j}$是对称的,但它涉及与控制微分方程$A(u)-f=0$相同的微分阶。

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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