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# 数学代写|数学建模代写Mathematical Modeling代考|Orthogonal Trajectories

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## 数学代写|数学建模代写Mathematical Modeling代考|Orthogonal Trajectories

Let
$$f(x, y, a)=0$$
represent a family of curves, one curve for each value of the parameter $a$.

Differentiating Eqn. (72), we get
$$\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d x}=0$$
Eliminating $a$ between Eqns. (72) and (73), we get a differential equation of the first order
$$\varphi\left(x, y, \frac{d y}{d x}\right)=0$$
of which Eqn. (72) is the general solution. Now we want a family of curves cutting every member of Eqn. (72) at right angle at all points of intersection.

At a point of intersection of the two curves, $x, y$ are the same but the slope of the second curve is negative reciprocal of the slope of the first curve. As such the differential equation of the family of orthogonal trajectories is
$$\varphi\left(x, y,-\frac{1}{d y / d x}\right)=0$$
Integrating Eqn. (75), we get
$$g(x, y, b)=0$$
which gives the orthogonal trajectories of the family Eqn. (72).

## 数学代写|数学建模代写Mathematical Modeling代考|Prey-Predator Models

Let $x(t), y(t)$ be the populations of the prey and predator species at time $t$. We assume that
(i) if there are no predators, the prey species will grow at a rate proportional to the population of the prey species.
(ii) if there are no prey, the predator species will decline at a rate proportional to the population of the predator species.
(iii) the presence of both predator and prey is beneficial to the growth of the predator species and is harmful to the growth of the prey species. More specifically the predator species increases and the prey species decreases at rates proportional to the product of the two populations.

These assumptions give the systems of nonlinear first order ordinary differential equations
$$\begin{gathered} \frac{d x}{d t}=a x-b x y=x(a-b y), a, b>0 \ \frac{d y}{d t}=-p y+q x y=-y(p-q x), p, q>0 \end{gathered}$$
Now $d x / d t, d y / d t$ both vanish if
$$x=x_e=\frac{p}{q}, y=y_e=\frac{a}{b}$$

## 数学代写|数学建模代写Mathematical Modeling代考|Orthogonal Trajectories

$$f(x, y, a)=0$$

$$\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d x}=0$$

$$\varphi\left(x, y, \frac{d y}{d x}\right)=0$$

$$\varphi\left(x, y,-\frac{1}{d y / d x}\right)=0$$

$$g(x, y, b)=0$$

## 数学代写|数学建模代写Mathematical Modeling代考|Prey-Predator Models

(i)如果没有捕食者，被捕食物种的增长速度将与被捕食物种的数量成正比。
(ii)如果没有猎物，捕食者种类会以与捕食者种类数量成比例的速度减少。
(三)捕食者和被捕食者同时存在，有利于捕食者物种的生长，不利于被捕食者物种的生长。更具体地说，捕食者物种的增加和猎物物种的减少的速率与两个种群的乘积成正比。

$$\begin{gathered} \frac{d x}{d t}=a x-b x y=x(a-b y), a, b>0 \ \frac{d y}{d t}=-p y+q x y=-y(p-q x), p, q>0 \end{gathered}$$

$$x=x_e=\frac{p}{q}, y=y_e=\frac{a}{b}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。