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# 数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|Subspaces

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## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Subspaces

In most of our studies of vector spaces, we are not concerned with the entire space but also with certain subsystems called subspaces.

Linear Subspace. Let $V$ be a vector space. A nonempty subset $W$ of $V$, say $W \subset V$, is called a (linear) subspace of $V$ if $W$ (with operations restricted from $V$ ) is a vector space (satisfies axioms of the vector space definition) itself.

A nonempty subset $W \subset V$ is a linear subspace of $V$ if and only if it is closed with respect to both operations: vector addition and multiplication by a scalar, i.e.,
\begin{aligned} & \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \in W \quad \Rightarrow \quad \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v} \in W \ & \alpha \in \mathbb{R}(\boldsymbol{C}), \boldsymbol{u} \in W \quad \Rightarrow \quad \alpha \boldsymbol{u} \in W \end{aligned}
PROOF Denote by “+” and “” the operations in $V$. If $W={W ;+; \cdot}$ is a vector space, then it must be closed with respect to both operations from the definition of vector space. Conversely, if $W$ is closed with respect to the operations, then it makes sense to speak about sums $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}$ and products $\alpha \boldsymbol{u}$ as elements of $W$ and all axioms which are satisfied in $V$ are automatically satisfied in $W$.

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Intersection of Subspaces

Intersection of Subspaces. Contrary to the set operation of the union of sets, the usual intersection operation preserves the linear structure and the intersection $X \cap Y$ is a linear subspace of $V$. Note that $X \cap Y$ is never empty since it must contain at least the zero vector.

Algebraic Sum of a Vector and a Subspace. Let $\boldsymbol{x} \in V$ and $Y$ be a subspace of the linear space $V$. The set
$$\boldsymbol{x}+Y \stackrel{\text { def }}{=}{\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}: \boldsymbol{y} \in Y}$$
is called the algebraic sum of vector $\boldsymbol{x}$ and subspace $Y$. The concepts of algebraic sum and intersection are illustrated in Fig. 2.5 .

Example 2.2.4
Consider again the set $W_c \subset \mathbb{R}^n$ defined in Example 2.2.1. Let $c \neq 0$ and $\boldsymbol{x}$ denote an arbitrary element of $W_c$. One can easily prove that
$$W_c=\boldsymbol{x}+W_0$$
(recall Remark 2.2.1).
Example 2.2.5
Let $W$ be the set of all kinematically admissible displacements from Example 2.2 .3 and let $W_0$ denote its counterpart for $u_0=0$. Finally, let us suppose that function $u_0$ can be extended to a function denoted by the same symbol but defined on the entire $\bar{\Omega}$. One can see that
$$W=u_0+W_0$$

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Subspaces

\begin{aligned} & \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \in W \quad \Rightarrow \quad \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v} \in W \ & \alpha \in \mathbb{R}(\boldsymbol{C}), \boldsymbol{u} \in W \quad \Rightarrow \quad \alpha \boldsymbol{u} \in W \end{aligned}
PROOF用“+”和“”表示$V$中的操作。如果$W={W ;+; \cdot}$是一个向量空间，那么它对于向量空间定义的两个运算都是封闭的。相反，如果$W$在运算上是封闭的，那么把和$\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}$和积$\alpha \boldsymbol{u}$说成$W$的元素是有意义的，并且在$V$中满足的所有公理在$W$中也自动满足。

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Intersection of Subspaces

$$\boldsymbol{x}+Y \stackrel{\text { def }}{=}{\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}: \boldsymbol{y} \in Y}$$

$$W_c=\boldsymbol{x}+W_0$$
(收回备注2.2.1)。

$$W=u_0+W_0$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。