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# 统计代写|贝叶斯分析代考Bayesian Analysis代写|The method of Monte Carlo integration for estimating means

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## 统计代写|贝叶斯分析代考Bayesian Analysis代写|The method of Monte Carlo integration for estimating means

One of the most important applications of Monte Carlo methods is the estimation of means. Suppose we are interested in $\mu$, the mean of some distribution defined by a density $f(x)$ (or by a cumulative distribution function $F(x)$ ), but we are unable to calculate $\mu$ exactly (or easily), for example by applying the formula
$$\mu=E x=\int x f(x) d x$$
(or $\quad \mu=E x=\sum_x x f(x)$ or $\quad \mu=E x=\int x d F(x)$ ).
Also suppose, however, that we are able to generate (or obtain) a random sample from the distribution in question. Denote this sample as
\begin{aligned} x_1, \ldots, x_J & \sim \text { iid } f(x) \ \text { (or } \quad x_1, \ldots, x_J & \sim \text { iid } F(x) \text { ). } \end{aligned}
Then we may use this sample to estimate $\mu$ by
$$\bar{x}=\frac{1}{J} \sum_{j=1}^J x_j .$$

## 统计代写|贝叶斯分析代考Bayesian Analysis代写|Other uses of the MC sample

Once a Monte Carlo sample $x_1, \ldots, x_J \sim$ iid $f(x)$ has been obtained, it can be used for much more than just estimating the mean of the distribution, $\mu=E x$. For example, suppose we are interested in the (lower) $p$-quantile of the distribution, namely
$$q_p=F_X^{-1}(p)={\text { value of } x \text { such that } F(x)=p} .$$
The MC estimate of $q_p$ is simply $\hat{q}p$, the empirical $p$-quantile of $x_1, \ldots, x_J$. For instance, the median $q{1 / 2}$ can be estimated by the middle number amongst $x_1, \ldots, x_J$ after sorting in increasing order. This assumes that $J$ is odd. If $J$ is even, we estimate $q_{1 / 2}$ by the average of the two middle numbers. Thus we may write the $\mathrm{MC}$ estimate of $q_{1 / 2}$ as
$$\hat{q}{1 / 2}=\left{\begin{array}{c} x{((J+1) / 22}, J \text { odd } \ \frac{x_{(J / 2)}+x_{((J+1) / 2)}}{2}, J \text { even, } \end{array}\right.$$
where $x_{(k)}$ is the $k$ th smallest value amongst $x_1, \ldots, x_J \quad(k=1, \ldots, J)$.
Also, we estimate the $1-\alpha$ central density region (CDR) for $x$, namely $\left(q_{\alpha / 2}, q_{1-\alpha / 2}\right)$, by $\left(\hat{q}{\alpha / 2}, \hat{q}{1-\alpha / 2}\right)$.

Further, suppose we are interested in the expected value of some function of $x$, say $y=g(x)$. That is, we wish to estimate the quantity/integral
$$\psi=E y=\int y f(y) d y=E g(x)=\int g(x) f(x) d x .$$

# 贝叶斯分析代写

## 统计代写|贝叶斯分析代考Bayesian Analysis代写|The method of Monte Carlo integration for estimating means

$$\mu=E x=\int x f(x) d x$$
(或$\quad \mu=E x=\sum_x x f(x)$或$\quad \mu=E x=\int x d F(x)$)。

\begin{aligned} x_1, \ldots, x_J & \sim \text { iid } f(x) \ \text { (or } \quad x_1, \ldots, x_J & \sim \text { iid } F(x) \text { ). } \end{aligned}

$$\bar{x}=\frac{1}{J} \sum_{j=1}^J x_j .$$

## 统计代写|贝叶斯分析代考Bayesian Analysis代写|Other uses of the MC sample

$$q_p=F_X^{-1}(p)={\text { value of } x \text { such that } F(x)=p} .$$
$q_p$的MC估计简单地为$\hat{q}p$，即$x_1, \ldots, x_J$的经验$p$ -分位数。例如，中位数$q{1 / 2}$可以通过按递增顺序排序后的$x_1, \ldots, x_J$中的中间数来估计。这里假设$J$是奇数。如果$J$是偶数，我们用中间两个数的平均值来估计$q_{1 / 2}$。因此，我们可以将$q_{1 / 2}$的$\mathrm{MC}$估计值写成
$$\hat{q}{1 / 2}=\left{\begin{array}{c} x{((J+1) / 22}, J \text { odd } \ \frac{x_{(J / 2)}+x_{((J+1) / 2)}}{2}, J \text { even, } \end{array}\right.$$

$$\psi=E y=\int y f(y) d y=E g(x)=\int g(x) f(x) d x .$$

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