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数学代写|数论代写Number Theory代考|Gauss’s Lemma

如果你也在 怎样代写数论Number theory 个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory(或旧时的算术或高等算术)是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯(1777-1855)说:”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象(例如有理数)或定义为整数的概括(例如代数整数)的属性。

数论Number theory整数既可以被视为本身,也可以被视为方程的解(刁藩几何)。数论中的问题通常最好通过研究分析对象(例如黎曼Zeta函数)来理解,这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性(分析数论)。人们也可以研究实数与有理数的关系,例如,由后者逼近的实数(Diophantine逼近)。

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数学代写|数论代写Number Theory代考|Gauss’s Lemma

数学代写|数论代写Number Theory代考|Gauss’s Lemma

In 1808 , Gauss discovered another very effective criterion to tell whether a number is a quadratic residue for a prime $p$. This criterion, now called Gauss’s lemma, enabled him to give a far less complicated proof of the law of quadratic reciprocity than the one he had been able to give when he was eighteen.

Here is how Gauss’s lemma works. For a number $a$ relatively prime to $p$, reduce the numbers in the list
$a, 2 a, 3 a, \ldots, \frac{p-1}{2} a$
to their residues from $-\frac{p-1}{2}$ to $\frac{p-1}{2}$.
For example, if $p=13$, then, for $a=3$, the list
$3,2 \cdot 3,3 \cdot 3,4 \cdot 3,5 \cdot 3,6 \cdot 3$
becomes
$$
3,6,-4,-1,2,5 \text {. }
$$
Note that each of the six integers $1,2,3,4,5,6$ from 1 to $\frac{p-1}{2}$ occurs exactly once in this list with either a plus or a minus sign. Gauss then tells us to count the number of minus signs; in this case there are two, and so, letting $n=2$, we do the following computation (since $a=3$ ):
$$
\left(\frac{3}{13}\right)=(-1)^n=(-1)^2=1
$$
and we get 1 , as we should, since 3 is a quadratic residue of 13 .
Let’s try it for $a=5$, a quadratic nonresidue of 13 . The list
$5,2 \cdot 5,3 \cdot 5,4 \cdot 5,5 \cdot 5,6 \cdot 5$
becomes
$$
5,-3,2,-6,-1,4
$$

数学代写|数论代写Number Theory代考|Euler’s Conjecture

Euler, without benefit of proof, but relying on massive calculations, conjectured that the beautiful patterns we have seen for the quadratic nature of $a=2$ and $a=3$ in Theorems 8.3 and 8.4 also hold more generally for other values of $a$. The most important feature of his conjecture is that whether a number $a$ is a quadratic residue of $p$ does not really depend on the prime $p$ itself; rather, it depends only on the remainder of $p$ modulo $4 a$.

We saw in Theorem 8.3 that the quadratic nature of $a=2$ depends not on $p$ itself, but only on the remainder of $p$ modulo 8 , and we saw in Theorem 8.3 that the quadratic nature of $a=3$ again depends not on $p$, but only on the remainder of $p$ modulo 12. So too, then, by Euler’s conjecture, the quadratic nature of $a=5$ for a prime $p$ will depend not on $p$ itself, but only on the remainder of $p$ modulo 20 .

Therefore, since $9^2 \equiv 5(\bmod 19)$, we know that 5 is a quadratic residue of 19 , and so, by this conjecture of Euler’s, we would immediately see that 5 is also a quadratic residue for all primes $p$ congruent to 19 modulo 20, that is, for $p=59,79,139,179,199,239, \ldots$.

We saw earlier that 5 is a quadratic nonresidue of 13 . Therefore, by this same conjecture of Euler’s, 5 should also be a quadratic nonresidue for the primes $p=53,73,113,173,193,233, \ldots$.

The other important feature of Euler’s conjecture involves the symmetry that is so evident in Theorems 8.3 and 8.4. For a number $a$, the quadratic nature of $a$ for a prime $p$ with remainder $r$ modulo $4 a$ is the same as it is for a prime $q$ with remainder $4 a-r$. For example, for $a=2$,if $p$ has remainder 1 modulo 8 , and $q$ has remainder $7=8-1$, then 2 is a quadratic residue of both $p$ and $q$; on the other hand, for $a=3$, if $p$ has remainder 5 modulo 12 , and $q$ has remainder $7=12-5$, then 3 is a quadratic nonresidue of both $p$ and $q$.

数学代写|数论代写Number Theory代考|Gauss’s Lemma

数论代写

数学代写|数论代写Number Theory代考|Gauss’s Lemma

1808年,高斯发现了另一个判别一个数是否是素数的二次余数的有效准则$p$。这个标准,现在被称为高斯引理,使他能够给出一个比他18岁时给出的二次互易定律简单得多的证明。

下面是高斯引理的工作原理。对于一个数字 $a$ 相对于 $p$,减少列表中的数字
$a, 2 a, 3 a, \ldots, \frac{p-1}{2} a$
到它们的残基 $-\frac{p-1}{2}$ 到 $\frac{p-1}{2}$.
例如,如果 $p=13$那么,为…… $a=3$,名单
$3,2 \cdot 3,3 \cdot 3,4 \cdot 3,5 \cdot 3,6 \cdot 3$
变成
$$
3,6,-4,-1,2,5 \text {. }
$$
注意,这六个整数中的每一个 $1,2,3,4,5,6$ 从1到 $\frac{p-1}{2}$ 在此列表中只出现一次,带正号或负号。然后高斯告诉我们计算负号的个数;在这种情况下有两个,所以,让 $n=2$,我们进行如下计算(since) $a=3$ ):
$$
\left(\frac{3}{13}\right)=(-1)^n=(-1)^2=1
$$
我们得到1,因为3是13的二次余数。
让我们试试 $a=5$,二次不残数为13。名单
$5,2 \cdot 5,3 \cdot 5,4 \cdot 5,5 \cdot 5,6 \cdot 5$
变成
$$
5,-3,2,-6,-1,4
$$

数学代写|数论代写Number Theory代考|Euler’s Conjecture

欧拉,没有证明的好处,但依靠大量的计算,推测我们在定理8.3和8.4中看到的$a=2$和$a=3$的二次性质的美丽模式也更普遍地适用于$a$的其他值。他的猜想的最重要的特征是,一个数$a$是否是$p$的二次余数并不取决于质数$p$本身;相反,它只依赖于$p$模$4 a$的余数。

在定理8.3中我们看到$a=2$的二次性质不取决于$p$本身,而只取决于$p$以8为模的余数,在定理8.3中我们看到$a=3$的二次性质也不取决于$p$,而只取决于$p$以12为模的余数。同样,根据欧拉猜想,对于质数$p$, $a=5$的二次性质不取决于$p$本身,而只取决于$p$对20取模的余数。

因此,由于$9^2 \equiv 5(\bmod 19)$,我们知道5是19的二次余数,因此,根据欧拉的这个猜想,我们马上就会看到5也是所有质数$p$的二次余数,等于19模20,也就是$p=59,79,139,179,199,239, \ldots$。

之前我们知道5是13的二次不残数。因此,根据同样的欧拉猜想,5也应该是质数的二次无余$p=53,73,113,173,193,233, \ldots$。

欧拉猜想的另一个重要特征涉及定理8.3和8.4中非常明显的对称性。对于一个数字$a$,对于余数为$r$模$4 a$的质数$p$,其$a$的二次性质与余数为$4 a-r$的质数$q$相同。例如,对于$a=2$,如果$p$的余数为1模8,$q$的余数为$7=8-1$,则2是$p$和$q$的二次余数;另一方面,对于$a=3$,如果$p$的余数为5模12,$q$的余数为$7=12-5$,则3是$p$和$q$的二次非残数。

数学代写|数论代写Number Theory代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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