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数学代写|数论代写Number Theory代考|Primitive Roots

如果你也在 怎样代写数论Number theory 个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory(或旧时的算术或高等算术)是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯(1777-1855)说:”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象(例如有理数)或定义为整数的概括(例如代数整数)的属性。

数论Number theory整数既可以被视为本身,也可以被视为方程的解(刁藩几何)。数论中的问题通常最好通过研究分析对象(例如黎曼Zeta函数)来理解,这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性(分析数论)。人们也可以研究实数与有理数的关系,例如,由后者逼近的实数(Diophantine逼近)。

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数学代写|数论代写Number Theory代考|Quadratic Residues

Our goal-as it was for much of Euler’s life-is a proof of Lagrange’s famous theorem that every number can be written as the sum of four squares. As is often the case, in order to move toward this goal, we need to introduce a new concept. The notion of quadratic residues is a topic we will discuss in great detail in the next chapter, but in this section we will see how Euler made use of basic properties of quadratic residues in his unrelenting attempt to prove the four squares theorem.

For a given prime $p$, a number $a$ that is relatively prime to $p$ is called a quadratic residue of $p$ if it is congruent to a square modulo $p$; otherwise, $a$ is called a quadratic nonresidue. For example, 6 is a quadratic residue of the prime 19 , because $5^2=25 \equiv 6$ (mod 19$)$ ); that is, 6 is a “square” modulo 19.

For any odd prime $p$, only half of the numbers $1,2, \ldots, p-1$ will be quadratic residues, and the other half will be quadratic nonresidues. There are two ways to see this.

The most natural way to see this is that the quadratic residues are given by
$$
1^2, 2^2, \ldots,\left(\frac{p-1}{2}\right)^2
$$
The next squares, $\left(\frac{p+1}{2}\right)^2,\left(\frac{p+3}{2}\right)^2, \ldots,(p-1)^2$, just repeat these same numbers all over again, since
$$
\frac{p+1}{2} \equiv-\frac{p-1}{2}, \quad \frac{p+3}{2} \equiv-\frac{p-3}{2}, \ldots, p-1 \equiv-1(\bmod p)
$$
so, among $1,2, \ldots, p-1$ there are $\frac{p-1}{2}$ quadratic residues and, therefore, $\frac{p-1}{2}$ quadratic nonresidues.

For example, we see above that $14^2=196 \equiv 6(\bmod 19)$, which just repeats the quadratic residue 6 already produced by $5^2$; this is because $14=19-5 \equiv-5(\bmod 19)$.

数学代写|数论代写Number Theory代考|Lagrange

It is almost inconceivable to us now, from our perspective in the twentyfirst century, at a time when travel is so easy, to realize that the two great mathematicians of the eighteenth century, Euler and Lagrange, never met one another. Yet their lives and their mathematics were deeply intertwined. We tend to think of Lagrange as a French mathematicianand the French certainly do-but he was born in Turin as Giuseppe Lodovico Lagrangia. And at the age of nineteen he was appointed as professor of mathematics at the Royal Artillery School in Turin.

In that same year, 1755, Lagrange wrote for the first time to Euler-his elder by almost thirty years, and who was by then at the Royal Academy in Berlin-about methods he had developed for solving problems in an area we now call the calculus of variations involving curves such as the tautochrone, a curve with the remarkable property that if two point masses begin falling simultaneously from two points anywhere on the curve, and fall along the curve only under the influence of gravity, then they will reach a given fixed point at exactly the same time. Euler was tremendously impressed by the young Lagrange and in 1756, even arranged for him to be offered a position in Berlin, but Lagrange declined. However, when Euler left Berlin in 1766 to return to St. Petersburg, it was Lagrange who took his place, and he was to remain there for twenty years as director of mathematics, before eventually moving to Paris.

We have already mentioned many of Lagrange’s major contributions in number theory: his proof of Wilson’s theorem, Theorem 6.3; his theorem on the number of solutions of a polynomial congruence, Theorem 6.5; and in the next section we will see his crowning achievement in number theory, his four squares theorem, Theorem 7.4. But Lagrange also made vital contributions across the entire field of mathematics: he invented the method known as variation of parameters for solving differential equations; it perhaps goes without saying that the method of Lagrange multipliers is due to him; while in Berlin he wrote his great treatise Mécanique Analytique on mechanics; and one of the most fundamental theorems in group theory is called Lagrange’s theorem, which says that the order of any subgroup divides the order of the group (thus generalizing the important corollary to Fermat’s little theorem about the order of $a$ dividing $p-1$ ).

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数论代写

数学代写|数论代写Number Theory代考|Quadratic Residues

我们的目标——就像欧拉一生中的大部分时间一样——是证明拉格朗日的著名定理,即每个数字都可以写成四个平方和。通常情况下,为了实现这一目标,我们需要引入一个新概念。二次剩数的概念是我们将在下一章详细讨论的一个主题,但在本节中,我们将看到欧拉如何在他不懈地尝试证明四平方定理时利用二次剩数的基本性质。

对于给定的质数$p$,相对于$p$的质数$a$如果与平方模$p$相等,则称为$p$的二次余数;否则,$a$被称为二次非残数。例如,6是素数19的二次余数,因为$5^2=25 \equiv 6$ (mod 19 $)$);也就是说,6是19的“平方”模。

对于任何奇素数$p$,只有一半的$1,2, \ldots, p-1$是二次残数,另一半是二次非残数。有两种方法来看待这个问题。

看这个最自然的方法是二次残数是由
$$
1^2, 2^2, \ldots,\left(\frac{p-1}{2}\right)^2
$$
下一个平方,$\left(\frac{p+1}{2}\right)^2,\left(\frac{p+3}{2}\right)^2, \ldots,(p-1)^2$,只是重复这些相同的数字,因为
$$
\frac{p+1}{2} \equiv-\frac{p-1}{2}, \quad \frac{p+3}{2} \equiv-\frac{p-3}{2}, \ldots, p-1 \equiv-1(\bmod p)
$$
因此,$1,2, \ldots, p-1$中有$\frac{p-1}{2}$个二次残数,因此有$\frac{p-1}{2}$个二次非残数。

例如,我们在上面看到$14^2=196 \equiv 6(\bmod 19)$,它只是重复了$5^2$已经产生的二次余数6;这是因为$14=19-5 \equiv-5(\bmod 19)$。

数学代写|数论代写Number Theory代考|Lagrange

现在,从我们21世纪的角度来看,在这个旅行如此容易的时代,我们几乎无法想象十八世纪的两位伟大的数学家欧拉和拉格朗日从来没有见过面。然而,他们的生活和他们的数学是深深交织在一起的。我们倾向于认为拉格朗日是一位法国数学家,法国人当然是这样认为的——但他出生在都灵,名叫朱塞佩·洛多维科·拉格朗日。19岁时,他被任命为都灵皇家炮兵学校的数学教授。

同年,也就是1755年,拉格朗日第一次写信给欧拉——比他大了将近30岁,当时欧拉在柏林皇家学院——讲述了他所开发的解决问题的方法,这些问题涉及到一个领域,我们现在称之为变分学,涉及到曲线,比如等时曲线,这种曲线具有一个显著的性质,如果两个点质量从曲线上的任何一点同时开始下降,并且只有在重力的影响下才沿着曲线下降,然后它们会在同一时间到达一个给定的固定点。欧拉对年轻的拉格朗日印象深刻,1756年,欧拉甚至为他安排了柏林的一个职位,但拉格朗日拒绝了。然而,当欧拉在1766年离开柏林回到圣彼得堡时,拉格朗日取代了他的位置,他在那里担任了20年的数学主任,最后搬到了巴黎。

我们已经提到了拉格朗日在数论方面的许多主要贡献:他对威尔逊定理6.3的证明;他关于多项式同余解个数的定理,定理6.5;在下一节,我们将看到他在数论方面的最高成就,他的四平方定理,定理7.4。但拉格朗日也在整个数学领域做出了重要贡献:他发明了解微分方程的参数变分法;拉格朗日乘数法是由他发明的,这也许是不言而喻的;而在柏林,他写了他的伟大论文,关于力学的分析;群论中最基本的定理之一叫做拉格朗日定理,它说任何子群的阶数都会除以群的阶数(从而推广了费马关于$a$除以$p-1$的阶数的小定理的重要推论)。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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