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数学代写|数论代写Number Theory代考|Waring’s Problem

如果你也在 怎样代写数论Number theory 个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory(或旧时的算术或高等算术)是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯(1777-1855)说:”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象(例如有理数)或定义为整数的概括(例如代数整数)的属性。

数论Number theory整数既可以被视为本身,也可以被视为方程的解(刁藩几何)。数论中的问题通常最好通过研究分析对象(例如黎曼Zeta函数)来理解,这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性(分析数论)。人们也可以研究实数与有理数的关系,例如,由后者逼近的实数(Diophantine逼近)。

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数学代写|数论代写Number Theory代考|Waring’s Problem

数学代写|数论代写Number Theory代考|Waring’s Problem

We have devoted a considerable amount of time in this book to problems involving sums of squares, in part because of the origins of these problems in the ancient mathematics of the Greeks, but also because of the intense interest in these problems shown by mathematicians such as Fermat, Euler, and Lagrange. Mostly we have done so, however, because the two main results concerning sums of squares-Fermat’s characterization of the numbers that can be written as a sum of two squares (Theorem 5.3 and its corollary) and Lagrange’s four squares theorem (Theorem 7.4)_are among the most deeply satisfying achievements in all of number theory.

A natural question to ask is whether there are any similar results for sums of other powers. For example, what numbers can be written as a sum of cubes? Fermat’s last theorem tells us that no cube is a sum of two cubes, but we saw in Problem 1.18 that it is possible for a cube to be a sum of three cubes. Might it be also be possible that there is a theorem analogous to Lagrange’s four squares theorem saying that for some small fixed number $c$, every number can be written as a sum of $c$ cubes?

In fact, it is fairly easy to guess what the number $c$ should be. To guess what the number $c$ should be for sums of cubes, let’s first try to see where the “four” comes from in Lagrange’s four square theorem. Since $8=2^2+2^2$ is less than $3^2$, it is clear that 7 , being 1 less than 8 , is going to require four squares: $7=2^2+1^2+1^2+1^2$. Then, roughly speaking, any number greater than 7 won’t ever need more than four squares because there will be more squares to work with. Now, for cubes, we can see that the number 23 plays a similar role. Since 23 is 1 less than $24=2^3+2^3+2^3$ and 24 is less than $3^3$ we can see that 23 is going to require nine cubes: $23=2^3+2^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3$.

So, it might just be possible-and this is a pretty wild guess at this point-that every number $n$ can be written as a sum of nine cubes. Your confidence in this conjecture would increase substantially if you were to check that except for 23 every positive integer up to 238 can be written as a sum of fewer than nine cubes. Then, once again, 239 requires nine cubes: $239=4^3+4^3+3^3+3^3+3^3+3^3+1^3+1^3+1^3$.

In 1770 , Edward Waring, who was the sixth Lucasian Professor of Mathematics at Cambridge University from 1760 to 1798 (see Problem 3.37 for other Lucasian Professors), made the extraordinary claim that not only could every number be written as a sum of 9 cubes, but every number could also be written as a sum of 19 fourth powers, or as a sum of $37 \mathrm{fifth}$ powers, or more generally as a sum of $g(k) k$ th powers where
$$
g(k)=\left\lfloor\left(\frac{3}{2}\right)^k\right\rfloor+2^k-2
$$

数学代写|数论代写Number Theory代考|Fermat’s Last Theorem

We began this chapter on Euler and Lagrange with the letter of 1729 that Christian Goldbach wrote from Moscow to Euler that first opened for Euler the world of number theory. We conclude this chapter on the two great mathematicians of the eighteenth century with a letter that Euler wrote to Goldbach, almost twenty-five years later, in 1753, about the famous conjecture that we now call Fermat’s last theorem.
There’s another very lovely theorem in Fermat whose proof he says he has found. Namely, on being prompted by the problem in Diophantus, find two squares whose sum is a square, he says that it is impossible to find two cubes whose sum is a cube, and two fourth powers whose sum is a fourth power, and more generally that this formula $a^n+b^n=c^n$ is impossible when $n>2$. Now I have found valid proofs that $a^3+b^3 \neq c^3$ and $a^4+b^4 \neq c^4$, where $\neq$ denotes cannot equal. But the proofs in the two cases are so different from one another that I do not see any possibility of deriving a general proof from them that $a^n+b^n \neq c^n$ if $n>2$. Yet one sees quite clearly as if through a trellis that the larger $n$ is, the more impossible the formula must be. Meanwhile I still haven’t been able to prove that the sum of two fifth powers cannot be a fifth power. To all appearances the proof just depends on a brainwave, and until one has it all one’s thinking might as well be in vain.
Euler worked on the first case of Fermat’s last theorem-that is, the case $n=3$-in the years between 1753 and 1770 . His proof is not at all simple, and in fact at one particular point his proof was not even quite complete, and contained a flaw that was later corrected by Legendre. We will save our discussion of Euler’s proof of the case $n=3$ for later in the book, and for now mention only that Euler based his proof on the use of a complex number called a cube root of unity:

$$
\rho=\frac{-1+i \sqrt{3}}{2}
$$
where the number $\rho$ has the remarkable property that $\rho^3=1$ (that’s why $\rho$ is called a cube root of unity: because when you cube it, you get 1 , that is, unity).

Euler then worked with the number system consisting of complex numbers of the form $a+b \rho$ where $a$ and $b$ are integers. In particular, then, Fermat’s equation
$$
x^3+y^3=z^3
$$

can be rewritten as
$$
(x+y)(x+\rho y)\left(x+\rho^2 y\right)=z^3
$$
(see Problem 7.41).

数学代写|数论代写Number Theory代考|Waring’s Problem

数论代写

数学代写|数论代写Number Theory代考|Waring’s Problem

我们在这本书中花了相当多的时间来讨论涉及平方和的问题,部分原因是这些问题起源于古希腊的古代数学,但也因为费马、欧拉和拉格朗日等数学家对这些问题表现出了浓厚的兴趣。然而,我们之所以这样做,主要是因为关于平方和的两个主要结果——费马关于可以写成两个平方和的数的特征(定理5.3及其推论)和拉格朗日的四平方定理(定理7.4)——是数论中最令人深刻满意的成就之一。

一个自然的问题是,其他幂的和是否也有类似的结果。例如,哪些数字可以写成立方数的和?费马大定理告诉我们没有立方体是两个立方体的和,但我们在1.18题中看到,一个立方体可能是三个立方体的和。是否也可能有一个类似于拉格朗日四平方定理的定理,说对于某个小的固定数$c$,每个数都可以写成$c$立方数的和?

事实上,很容易猜出$c$这个数字应该是多少。要猜测立方体和的数字$c$应该是什么,让我们首先尝试看看拉格朗日四平方定理中的“4”是从哪里来的。因为$8=2^2+2^2$小于$3^2$,很明显,7比8小1,需要4个平方:$7=2^2+1^2+1^2+1^2$。然后,粗略地说,任何大于7的数都不需要超过4个平方数,因为会有更多的平方数需要处理。现在,对于立方体,我们可以看到数字23起着类似的作用。因为23比$24=2^3+2^3+2^3$小1,24比$3^3$小,我们可以看到23需要9个立方体:$23=2^3+2^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3$。

因此,有可能——这是一个非常大胆的猜测——每个数字$n$都可以写成9个立方体的和。如果你检验一下,除了23以外,238以内的所有正整数都可以写成小于9个立方数的和,你对这个猜想的信心就会大大增强。然后,再一次,239需要9个立方体:$239=4^3+4^3+3^3+3^3+3^3+3^3+1^3+1^3+1^3$。

1770年,爱德华·沃林(Edward Waring)——剑桥大学(1760年至1798年)的第六任卢卡斯数学教授(见问题3.37)——提出了一个不同寻常的主张:不仅每个数字都可以写成9个立方数的和,而且每个数字都可以写成19个四次方的和,或者$37 \mathrm{fifth}$次方的和,或者更一般地说,$g(k) k$次方的和
$$
g(k)=\left\lfloor\left(\frac{3}{2}\right)^k\right\rfloor+2^k-2
$$

数学代写|数论代写Number Theory代考|Fermat’s Last Theorem

我们从1729年哥德巴赫从莫斯科写给欧拉的信开始了这一章关于欧拉和拉格朗日的讨论,这封信首次为欧拉打开了数论的世界。我们用一封欧拉写给哥德巴赫的信来结束关于18世纪两位伟大数学家的这一章,那是在大约25年后的1753年,关于我们现在称之为费马大定理的著名猜想。
费马还有另一个非常可爱的定理他说他找到了它的证明。也就是说,根据丢番图问题的提示,找到两个方框,它们的和是平方,他说,不可能找到两个立方体,它们的和是立方,两个四次方,它们的和是四次方,更一般地说,这个公式$a^n+b^n=c^n$是不可能的,当$n>2$。现在我已经找到了有效的证明$a^3+b^3 \neq c^3$和$a^4+b^4 \neq c^4$,其中$\neq$表示不等于。但是在这两种情况下的证明是如此不同,我看不出任何可能从它们推导出一个一般的证明$a^n+b^n \neq c^n$ if $n>2$。然而,我们可以很清楚地看到,$n$越大,这个公式就越不可能。同时我还没能证明两个五次方的和不可能是五次方。从表面上看,证据只是依靠脑电波,在一个人拥有它之前,他的所有想法都可能是徒劳的。
欧拉在1753年到1770年间研究了费马最后定理的第一种情况,即$n=3$。他的证明一点也不简单,事实上,在某一点上,他的证明甚至不太完整,并且包含了一个后来被勒让德纠正的缺陷。我们将把欧拉证明$n=3$的讨论留到后面的书中,现在只提到欧拉的证明是基于一个被称为单位立方根的复数:

$$
\rho=\frac{-1+i \sqrt{3}}{2}
$$
其中的数字$\rho$有一个显著的特性,即$\rho^3=1$(这就是为什么$\rho$被称为单位的立方根:因为当你对它进行立方根时,你得到的是1,也就是单位)。

数学代写|数论代写Number Theory代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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