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# 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|The Extension Theorem

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## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|The Extension Theorem

The following theorem is of fundamental importance in constructing complicated probability triples. Recall the definition of semialgebra from Exercise 2.2.3.

Theorem 2.3.1. (The Extension Theorem.) Let $\mathcal{J}$ be a semialgebra of subsets of $\Omega$. Let $\mathbf{P}: \mathcal{J} \rightarrow[0,1]$ with $\mathbf{P}(\emptyset)=0$ and $\mathbf{P}(\Omega)=1$, satisfying the finite superadditivity property that
$$\begin{array}{r} \mathbf{P}\left(\bigcup_{i=1}^k A_i\right) \geq \sum_{i=1}^k \mathbf{P}\left(A_i\right) \quad \text { whenever } A_1, \ldots, A_k \in \mathcal{J}, \text { and } \bigcup_{i=1}^k A_i \in \mathcal{J}, \ \text { and the }\left{A_i\right} \text { are disjoint } \end{array}$$
and also the countable monotonicity property that
$$\mathbf{P}(A) \leq \sum_n \mathbf{P}\left(A_n\right) \quad \text { for } A, A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{J} \text { with } A \subseteq \bigcup_n A_n .$$
Then there is a $\sigma$-algebra $\mathcal{M} \supseteq \mathcal{J}$, and a countably additive probability measure $\mathbf{P}^$ on $\mathcal{M}$, such that $\mathbf{P}^(A)=\mathbf{P}(A)$ for all $A \in \mathcal{J}$. (That is,$\left(\Omega, \mathcal{M}, \mathbf{P}^*\right)$ is a valid probability triple, which agrees with our previous probabilities on $\mathcal{J}$.)

Remark. Of course, the conclusions of Theorem 2.3.1 imply that (2.3.2) must actually hold with equality. However, (2.3.2) need only be verified as an inequality to apply Theorem 2.3.1.

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Constructing the Uniform[0,1] distribution

Theorem 2.3 .1 allows us to automatically construct valid probability triples which take particular values on particular sets. We now use this to construct the Uniform $[0,1]$ distribution. We begin by letting $\Omega=[0,1]$, and again setting
$$\mathcal{J}={\text { all intervals contained in }[0,1]}$$
where again “intervals” is understood to include all the open, closed, halfopen, and singleton intervals contained in $[0,1]$, and also the empty set $\emptyset$. Then $\mathcal{J}$ is a semialgebra by Exercise 2.2.3.

For $I \in \mathcal{J}$, we let $\mathbf{P}(I)$ be the length of $I$. Thus $\mathbf{P}(\emptyset)=0$ and $\mathbf{P}(\Omega)=1$. We now proceed to verify $(2.3 .2)$ and (2.3.3).

Proposition 2.4.2. The above definition of $\mathcal{J}$ and $\mathbf{P}$ satisfies (2.3.2), with equality.

Proof. Let $I_1, \ldots, I_k$ be disjoint intervals contained in $[0,1]$, whose union is some interval $I_0$. For $0 \leq j \leq k$, write $a_j$ for the left end-point of $I_j$, and $b_j$ for the right end-point of $I_j$. The assumptions imply that by re-ordering, we can ensure that $a_0=a_1 \leq b_1=a_2 \leq b_2=a_3 \leq \ldots \leq b_k=b_0$. Then
$$\sum_j \mathbf{P}\left(I_j\right)=\sum_j\left(b_j-a_j\right)=b_k-a_1=b_0-a_0=\mathbf{P}\left(I_0\right) .$$

# 概率论代写

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|The Extension Theorem

$$\begin{array}{r} \mathbf{P}\left(\bigcup_{i=1}^k A_i\right) \geq \sum_{i=1}^k \mathbf{P}\left(A_i\right) \quad \text { whenever } A_1, \ldots, A_k \in \mathcal{J}, \text { and } \bigcup_{i=1}^k A_i \in \mathcal{J}, \ \text { and the }\left{A_i\right} \text { are disjoint } \end{array}$$

$$\mathbf{P}(A) \leq \sum_n \mathbf{P}\left(A_n\right) \quad \text { for } A, A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{J} \text { with } A \subseteq \bigcup_n A_n .$$

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Constructing the Uniform[0,1] distribution

$$\mathcal{J}={\text { all intervals contained in }[0,1]}$$

$$\sum_j \mathbf{P}\left(I_j\right)=\sum_j\left(b_j-a_j\right)=b_k-a_1=b_0-a_0=\mathbf{P}\left(I_0\right) .$$

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## MATLAB代写

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