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数学代写|概率论代考Probability Theory代写|The integration connection

如果你也在 怎样代写概率论Probability Theory 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。概率论Probability Theory作为统计学的数学基础,对许多涉及数据定量分析的人类活动至关重要。概率论的方法也适用于对复杂系统的描述,只对其状态有部分了解,如在统计力学或顺序估计。二十世纪物理学的一个伟大发现是量子力学中描述的原子尺度的物理现象的概率性质。

概率论Probability Theory Math37500的核心课题包括离散和连续随机变量、概率分布和随机过程(为非决定性或不确定的过程或测量量提供数学抽象,这些过程或测量量可能是单一发生的,或以随机方式随时间演变)。尽管不可能完美地预测随机事件,但对它们的行为可以有很多说法。概率论中描述这种行为的两个主要结果是大数法则和中心极限定理。概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释,但概率论以严格的数学方式处理这一概念,通过一组公理来表达它。

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Given a probability triple $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$, we sometimes write $\mathbf{E}(X)$ as $\int_{\Omega} X d \mathbf{P}$ or $\int_{\Omega} X(\omega) \mathbf{P}(d \omega)$ (the ” $\Omega$ ” is sometimes omitted). We call this the integral of the (measurable) function $X$ with respect to the (probability) measure P.

Why do we make this identification? Well, certainly expected value satisfies some similar properties to that of the integral: it is linear, orderpreserving, etc. But a more convincing reason is given by

Theorem 4.4.1. Let $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$ be Lebesgue measure on $[0,1]$. Let $X:[0,1] \rightarrow \mathbf{R}$ be a bounded function which is Riemann integrable (i.e. integrable in the usual calculus sense). Then $X$ is a random variable with respect to $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$, and $\mathbf{E}(X)=\int_0^1 X(t) d t$. In words, the expected value of the random variable $X$ is equal to the calculus-style integral of the function $X$.
Proof. Recall the definitions of lower and upper integrals, viz.
$$
\begin{aligned}
& L \int_0^1 X \equiv \sup \left{\sum_{i=1}^n\left(t_i-t_{i-1}\right) \inf {t{i-1} \leq t \leq t_i} X(t) ; 0=t_0<t_1<\ldots<t_n=1\right} ; \
& U \int_0^1 X \equiv \inf \left{\sum_{i=1}^n\left(t_i-t_{i-1}\right) \sup {t{i-1} \leq t \leq t_i} X(t) ; 0=t_0<t_1<\ldots<t_n=1\right} .
\end{aligned}
$$

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Various inequalities

We begin with two very important inequalities about random variables.
Proposition 5.1.1. (Markov’s inequality.) If $X$ is a non-negative random variable, then for all $\alpha>0$,
$$
\mathbf{P}(X \geq \alpha) \leq \mathbf{E}(X) / \alpha
$$
In words, the probability that $X$ exceeds $\alpha$ is bounded above by its mean divided by $\alpha$.
Proof. Define a new random variable $Z$ by
$$
Z(\omega)=\left{\begin{array}{cl}
\alpha, & X(\omega) \geq \alpha \
0, & X(\omega)<\alpha
\end{array}\right.
$$
Then clearly $Z \leq X$, so that $\mathbf{E}(Z) \leq \mathbf{E}(X)$ by the order-preserving property. On the other hand, we compute that $\mathbf{E}(Z)=\alpha \mathbf{P}(X \geq \alpha)$. Hence, $\alpha \mathbf{P}(X \geq \alpha) \leq \mathbf{E}(X)$.

Markov’s inequality applies only to non-negative random variables, but it immediately implies another inequality which holds more generally:

Proposition 5.1.2. (Chebychev’s inequality.) Let $Y$ be an arbitrary random variable, with finite mean $\mu_Y$. Then for all $\alpha>0$,
$$
\mathbf{P}\left(\left|Y-\mu_Y\right| \geq \alpha\right) \leq \operatorname{Var}(Y) / \alpha^2
$$
In words, the probability that $Y$ differs from its mean by more than $\alpha$ is bounded above by its variance divided by $\alpha^2$.

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概率论代写

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给定一个概率三重$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$,我们有时将$\mathbf{E}(X)$写成$\int_{\Omega} X d \mathbf{P}$或$\int_{\Omega} X(\omega) \mathbf{P}(d \omega)$(有时省略“$\Omega$”)。我们称之为(可测)函数$X$对(概率)测度P的积分。

我们为什么要做这样的鉴定?当然,期望值满足一些与积分相似的性质:它是线性的,保序的,等等。但一个更有说服力的理由是

定理4.4.1。让$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$成为勒贝格在$[0,1]$上的测量。设$X:[0,1] \rightarrow \mathbf{R}$为黎曼可积的有界函数(即通常微积分意义上的可积)。那么$X$是一个相对于$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$和$\mathbf{E}(X)=\int_0^1 X(t) d t$的随机变量。也就是说,随机变量$X$的期望值等于函数$X$的微积分式积分。
证明。回顾下积分和上积分的定义,即。
$$
\begin{aligned}
& L \int_0^1 X \equiv \sup \left{\sum_{i=1}^n\left(t_i-t_{i-1}\right) \inf {t{i-1} \leq t \leq t_i} X(t) ; 0=t_0<t_1<\ldots<t_n=1\right} ; \
& U \int_0^1 X \equiv \inf \left{\sum_{i=1}^n\left(t_i-t_{i-1}\right) \sup {t{i-1} \leq t \leq t_i} X(t) ; 0=t_0<t_1<\ldots<t_n=1\right} .
\end{aligned}
$$

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我们从两个关于随机变量的重要不等式开始。
提案5.1.1。(马尔可夫不等式)如果$X$是一个非负随机变量,则对于所有$\alpha>0$,
$$
\mathbf{P}(X \geq \alpha) \leq \mathbf{E}(X) / \alpha
$$
换句话说,$X$超过$\alpha$的概率以其均值除以$\alpha$为界。
证明。定义一个新的随机变量$Z$ by
$$
Z(\omega)=\left{\begin{array}{cl}
\alpha, & X(\omega) \geq \alpha \
0, & X(\omega)<\alpha
\end{array}\right.
$$
那么显然$Z \leq X$,那么根据保序性$\mathbf{E}(Z) \leq \mathbf{E}(X)$。另一方面,我们计算$\mathbf{E}(Z)=\alpha \mathbf{P}(X \geq \alpha)$。因此,$\alpha \mathbf{P}(X \geq \alpha) \leq \mathbf{E}(X)$。

马尔可夫不等式只适用于非负随机变量,但它立即暗示了另一个更普遍的不等式:

提案5.1.2。(Chebychev不等式)设$Y$为任意随机变量,具有有限均值$\mu_Y$。那么对于所有$\alpha>0$,
$$
\mathbf{P}\left(\left|Y-\mu_Y\right| \geq \alpha\right) \leq \operatorname{Var}(Y) / \alpha^2
$$
换句话说,$Y$与均值之差大于$\alpha$的概率由方差除以$\alpha^2$定界。

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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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