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# 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|The integration connection

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## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|The integration connection

Given a probability triple $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$, we sometimes write $\mathbf{E}(X)$ as $\int_{\Omega} X d \mathbf{P}$ or $\int_{\Omega} X(\omega) \mathbf{P}(d \omega)$ (the ” $\Omega$ ” is sometimes omitted). We call this the integral of the (measurable) function $X$ with respect to the (probability) measure P.

Why do we make this identification? Well, certainly expected value satisfies some similar properties to that of the integral: it is linear, orderpreserving, etc. But a more convincing reason is given by

Theorem 4.4.1. Let $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$ be Lebesgue measure on $[0,1]$. Let $X:[0,1] \rightarrow \mathbf{R}$ be a bounded function which is Riemann integrable (i.e. integrable in the usual calculus sense). Then $X$ is a random variable with respect to $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$, and $\mathbf{E}(X)=\int_0^1 X(t) d t$. In words, the expected value of the random variable $X$ is equal to the calculus-style integral of the function $X$.
Proof. Recall the definitions of lower and upper integrals, viz.
\begin{aligned} & L \int_0^1 X \equiv \sup \left{\sum_{i=1}^n\left(t_i-t_{i-1}\right) \inf {t{i-1} \leq t \leq t_i} X(t) ; 0=t_0<t_1<\ldots<t_n=1\right} ; \ & U \int_0^1 X \equiv \inf \left{\sum_{i=1}^n\left(t_i-t_{i-1}\right) \sup {t{i-1} \leq t \leq t_i} X(t) ; 0=t_0<t_1<\ldots<t_n=1\right} . \end{aligned}

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Various inequalities

We begin with two very important inequalities about random variables.
Proposition 5.1.1. (Markov’s inequality.) If $X$ is a non-negative random variable, then for all $\alpha>0$,
$$\mathbf{P}(X \geq \alpha) \leq \mathbf{E}(X) / \alpha$$
In words, the probability that $X$ exceeds $\alpha$ is bounded above by its mean divided by $\alpha$.
Proof. Define a new random variable $Z$ by
$$Z(\omega)=\left{\begin{array}{cl} \alpha, & X(\omega) \geq \alpha \ 0, & X(\omega)<\alpha \end{array}\right.$$
Then clearly $Z \leq X$, so that $\mathbf{E}(Z) \leq \mathbf{E}(X)$ by the order-preserving property. On the other hand, we compute that $\mathbf{E}(Z)=\alpha \mathbf{P}(X \geq \alpha)$. Hence, $\alpha \mathbf{P}(X \geq \alpha) \leq \mathbf{E}(X)$.

Markov’s inequality applies only to non-negative random variables, but it immediately implies another inequality which holds more generally:

Proposition 5.1.2. (Chebychev’s inequality.) Let $Y$ be an arbitrary random variable, with finite mean $\mu_Y$. Then for all $\alpha>0$,
$$\mathbf{P}\left(\left|Y-\mu_Y\right| \geq \alpha\right) \leq \operatorname{Var}(Y) / \alpha^2$$
In words, the probability that $Y$ differs from its mean by more than $\alpha$ is bounded above by its variance divided by $\alpha^2$.

# 概率论代写

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|The integration connection

\begin{aligned} & L \int_0^1 X \equiv \sup \left{\sum_{i=1}^n\left(t_i-t_{i-1}\right) \inf {t{i-1} \leq t \leq t_i} X(t) ; 0=t_0<t_1<\ldots<t_n=1\right} ; \ & U \int_0^1 X \equiv \inf \left{\sum_{i=1}^n\left(t_i-t_{i-1}\right) \sup {t{i-1} \leq t \leq t_i} X(t) ; 0=t_0<t_1<\ldots<t_n=1\right} . \end{aligned}

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Various inequalities

$$\mathbf{P}(X \geq \alpha) \leq \mathbf{E}(X) / \alpha$$

$$Z(\omega)=\left{\begin{array}{cl} \alpha, & X(\omega) \geq \alpha \ 0, & X(\omega)<\alpha \end{array}\right.$$

$$\mathbf{P}\left(\left|Y-\mu_Y\right| \geq \alpha\right) \leq \operatorname{Var}(Y) / \alpha^2$$

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。