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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Zero–dimensional Primary Decomposition

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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中,代数整数的环是Dedekind环,因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念,以及估值环扩展的公理化概念。

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Zero–dimensional Primary Decomposition

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Zero–dimensional Primary Decomposition

In this section we shall give an algorithm to compute a primary decomposition for zero-dimensional ideals in a polynomial ring over a field of characteristic 0. This algorithm was published by Gianni, Trager, and Zacharias ([90]). Let $K$ be a field of characteristic 0 . In the case of one variable $x$, any ideal $I \subset K[x]$ is a principal ideal and the primary decomposition is given by the factorization of a generator of $I$ : let $I=\langle f\rangle, f=f_1^{n_1} \ldots f_r^{n_r}$ with $f_i$ irreducible and $\left\langle f_i, f_j\right\rangle=K[x]$ for $i \neq j$, then $I=\left\langle f_1\right\rangle^{n_1} \cap \cdots \cap\left\langle f_r\right\rangle^{n_r}$ is the primary decomposition of $I$. In the case of $n$ variables, the univariate polynomial factorization is also an essential ingredient. We shall see that, after a generic coordinate change, the factorization of a polynomial in one variable leads to a primary decomposition. By definition, all associated prime ideals of a zero-dimensional ideal are maximal. We need the concept for an ideal in general position.

Definition 4.2.1.
(1) A maximal ideal $M \subset K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ is called in general position with respect to the lexicographical ordering with $x_1>\cdots>x_n$, if there exist $g_1, \ldots, g_n \in K\left[x_n\right]$ with $M=\left\langle x_1+g_1\left(x_n\right), \ldots, x_{n-1}+g_{n-1}\left(x_n\right), g_n\left(x_n\right)\right\rangle$.
(2) A zero-dimensional ideal $I \subset K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ is called in general position with respect to the lexicographical ordering with $x_1>\cdots>x_n$, if all associated primes $P_1, \ldots, P_k$ are in general position and if $P_i \cap K\left[x_n\right] \neq$ $P_j \cap K\left[x_n\right]$ for $i \neq j$.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Higher Dimensional Primary Decomposition

In this section we show how to reduce the primary decomposition of an arbitrary ideal in $K[x]$ to the zero-dimensional case. We use the following idea:
Let $K$ be a field and $I \subset K[x]$ an ideal. Let $u \subset x=\left{x_1, \ldots, x_n\right}$ be a maximal independent set with respect to the ideal $I$ (cf. Definition 3.5.3) then $\emptyset \subset x \backslash u$ is a maximal independent set with respect to $I K(u)[x \backslash u]$ and, therefore, $I K(u)[x \backslash u] \subset K(u)[x \backslash u]$ is a zero-dimensional ideal (Theorem 3.5.1 (6)). Now, let $Q_1 \cap \cdots \cap Q_s=I K(u)[x \backslash u]$ be an irredundant primary decomposition (which we can compute as we are in the zero-dimensional case), then also $I K(u)[x \backslash u] \cap K[x]=\left(Q_1 \cap K[x]\right) \cap \cdots \cap\left(Q_s \cap K[x]\right)$ is an irredundant primary decomposition. It turns out that $I K(u)[x \backslash u] \cap K[x]$ is equal to the saturation $I:\left\langle h^{\infty}\right\rangle=\bigcup_{m>0} I:\left\langle h^m\right\rangle$ for some $h \in K[u]$ which can be read from an appropriate Gröbner basis of $I K(u)[x \backslash u]$. Assume that $I:\left\langle h^{\infty}\right\rangle=I:\left\langle h^m\right\rangle$ for a suitable $m$ (the ring is Noetherian). Then, using Lemma 3.3.6, we have $I=\left(I:\left\langle h^m\right\rangle\right) \cap\left\langle I, h^m\right\rangle$. Because we computed already the primary decomposition for $I:\left\langle h^m\right\rangle$ (an equidimensional ideal of dimension $\operatorname{dim}(I))$ we can use induction, that is, apply the procedure again to $\left\langle I, h^m\right\rangle$.

This approach terminates because either $\operatorname{dim}\left(\left\langle I, h^m\right\rangle\right)<\operatorname{dim}(I)$ or the number of maximal independent sets with respect to $\left\langle I, h^m\right\rangle$ is smaller than the number of maximal independent sets with respect to $I$ (since $u$ is not an independent set with respect to $\left\langle I, h^m\right\rangle$ ). The basis of this reduction procedure to the zero-dimensional case is the following proposition:

Proposition 4.3.1. Let $I \subset K[x]$ be an ideal and $u \subset x=\left{x_1, \ldots, x_n\right}$ be a maximal independent set of variables with respect to $I$.
(1) $I K(u)[x \backslash u] \subset K(u)[x \backslash u]$ is a zero-dimensional ideal.
(2) Let $S=\left{g_1, \ldots, g_s\right} \subset I \subset K[x]$ be a Gröbner basis of $I K(u)[x \backslash u]$, and let $h:=\operatorname{lcm}\left(\mathrm{LC}\left(g_1\right), \ldots, \mathrm{LC}\left(g_s\right)\right) \in K[u]$, then
$$
I K(u)[x \backslash u] \cap K[x]=I:\left\langle h^{\infty}\right\rangle,
$$
and this ideal is equidimensional of dimension $\operatorname{dim}(I)$.
(3) Let $I K(u)[x \backslash u]=Q_1 \cap \cdots \cap Q_s$ be an irredundant primary decomposition, then also $I K(u)[x \backslash u] \cap K[x]=\left(Q_1 \cap K[x]\right) \cap \cdots \cap\left(Q_s \cap K[x]\right)$ is an irredundant primary decomposition.

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交换代数代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Zero–dimensional Primary Decomposition

在本节中,我们将给出一个算法来计算特征为0的多项式环上的零维理想的初等分解。该算法由Gianni, Trager, and Zacharias([90])发表。设$K$为特征为0的字段。在单变量$x$的情况下,任何理想$I \subset K[x]$都是主理想,其初等分解由$I$的一个生成器进行分解得到:令$I=\langle f\rangle, f=f_1^{n_1} \ldots f_r^{n_r}$与$f_i$不可约,$\left\langle f_i, f_j\right\rangle=K[x]$为$i \neq j$,则$I=\left\langle f_1\right\rangle^{n_1} \cap \cdots \cap\left\langle f_r\right\rangle^{n_r}$是$I$的初等分解。在$n$变量的情况下,单变量多项式分解也是必不可少的成分。我们将看到,在一般的坐标变化之后,对一个变量的多项式进行因式分解会得到初等分解。根据定义,一个零维理想的所有相关素理想都是极大的。我们需要一个理想的总体定位的概念。

4.2.1.定义
(1)如果存在$g_1, \ldots, g_n \in K\left[x_n\right]$和$M=\left\langle x_1+g_1\left(x_n\right), \ldots, x_{n-1}+g_{n-1}\left(x_n\right), g_n\left(x_n\right)\right\rangle$,则在相对于$x_1>\cdots>x_n$的字典顺序的一般位置上称为极大理想$M \subset K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$。
(2)如果所有相关素数$P_1, \ldots, P_k$都在一般位置上,并且对于$i \neq j$,如果$P_i \cap K\left[x_n\right] \neq$$P_j \cap K\left[x_n\right]$,则相对于$x_1>\cdots>x_n$的字典顺序,称为零维理想$I \subset K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$。

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Higher Dimensional Primary Decomposition

在本节中,我们将展示如何将$K[x]$中任意理想的初等分解简化为零维情况。我们使用以下思路:
让$K$成为一个领域,让$I \subset K[x]$成为一个理想。设$u \subset x=\left{x_1, \ldots, x_n\right}$是相对于理想$I$的极大独立集(参见定义3.5.3),则$\emptyset \subset x \backslash u$是相对于$I K(u)[x \backslash u]$的极大独立集,因此$I K(u)[x \backslash u] \subset K(u)[x \backslash u]$是零维理想(定理3.5.1(6))。现在,假设$Q_1 \cap \cdots \cap Q_s=I K(u)[x \backslash u]$是一个无冗余的初等分解(我们可以像在零维情况下那样计算),那么$I K(u)[x \backslash u] \cap K[x]=\left(Q_1 \cap K[x]\right) \cap \cdots \cap\left(Q_s \cap K[x]\right)$也是一个无冗余的初等分解。结果是$I K(u)[x \backslash u] \cap K[x]$等于某些$h \in K[u]$的饱和度$I:\left\langle h^{\infty}\right\rangle=\bigcup_{m>0} I:\left\langle h^m\right\rangle$,这可以从$I K(u)[x \backslash u]$的适当Gröbner基础上读取。假设$I:\left\langle h^{\infty}\right\rangle=I:\left\langle h^m\right\rangle$为合适的$m$(环是Noetherian)。然后,利用引理3.3.6,我们得到$I=\left(I:\left\langle h^m\right\rangle\right) \cap\left\langle I, h^m\right\rangle$。因为我们已经计算了$I:\left\langle h^m\right\rangle$的初等分解(尺寸为$\operatorname{dim}(I))$的等维理想),所以我们可以使用归纳法,也就是说,将该过程再次应用于$\left\langle I, h^m\right\rangle$。

这种方法会终止,因为$\operatorname{dim}\left(\left\langle I, h^m\right\rangle\right)<\operatorname{dim}(I)$或相对于$\left\langle I, h^m\right\rangle$的最大独立集的数量小于相对于$I$的最大独立集的数量(因为$u$不是相对于$\left\langle I, h^m\right\rangle$的独立集)。这种零维情形的约简过程的基础是以下命题:

提案4.3.1。设$I \subset K[x]$为理想值,$u \subset x=\left{x_1, \ldots, x_n\right}$为关于$I$的最大独立变量集。
(1) $I K(u)[x \backslash u] \subset K(u)[x \backslash u]$是零维理想。
(2)设$S=\left{g_1, \ldots, g_s\right} \subset I \subset K[x]$为$I K(u)[x \backslash u]$的Gröbner基,则设$h:=\operatorname{lcm}\left(\mathrm{LC}\left(g_1\right), \ldots, \mathrm{LC}\left(g_s\right)\right) \in K[u]$
$$
I K(u)[x \backslash u] \cap K[x]=I:\left\langle h^{\infty}\right\rangle,
$$
这个理想是等维的$\operatorname{dim}(I)$。
(3)设$I K(u)[x \backslash u]=Q_1 \cap \cdots \cap Q_s$为非冗余初等分解,则$I K(u)[x \backslash u] \cap K[x]=\left(Q_1 \cap K[x]\right) \cap \cdots \cap\left(Q_s \cap K[x]\right)$也为非冗余初等分解。

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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