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图论Graph Theory在数学和计算机科学领域，图论是对图的研究，涉及边和顶点之间的关系。它是一门热门学科，在计算机科学、信息技术、生物科学、数学和语言学中都有应用。近年来，图论已经成为各种学科的重要数学工具，从运筹学和化学到遗传学和语言学，从电气工程和地理到社会学和建筑。同时，它本身也作为一门有价值的数学学科出现。
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数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|The Four Color Problem
What is this all about? We are about to explain. In the article “The mathematics of map coloring,” which was published in a 1969 issue of the Journal of Recreational Mathematics, its author, the distinguished mathematician H. S. M. (Donald) Coxeter, mentioned that in nearly every instance when a map of the United States is colored to distinguish neighboring states, at most five or six colors are used. What is the minimum number of colors that can be used to color the states in the United States if every two states that share a common border are required to be colored differently? Two states that share only a common point, however, such as Utah and New Mexico, are permitted to be colored the same (see Figure 10.1). Since Nevada and Utah are neighboring states, that is, they share a common boundary, they must be assigned different colors. In fact, Nevada has a ring of five neighboring states, namely, Utah, Idaho, Oregon, California and Arizona. Therefore, each of these five states must be assigned a color different from that used for Nevada. On the other hand, three colors are needed to color the five states bordering Nevada. So four colors are needed in all to color these six states. Indeed, all states in the United States can be colored with four colors.
Coloring regions (whether these are states, countries or counties) in a map with a minimum number of colors such that neighboring regions (those sharing a common boundary) are colored differently does not appear to be a question with which map-makers of the past were concerned. Indeed, the mathematical historian Kenneth May found no evidence of this when he studied books on map-making.
So, if a map is divided into regions in some manner, what is the minimum number of colors required if neighboring regions are to be colored differently? And why is this a question that should even concern us? You might think that the answer to the first question depends on the map and you’d be right – although we have already mentioned that coloring the states in the United States requires four colors and that four colors suffice. One might expect, however, that this question would have a very different answer if the map consisted of many regions (say billions) and the map was designed so that many of the regions had a large number of neighboring regions.
数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Vertex Coloring
It is not particularly difficult to show that the map drawn in Figure 10.3 can be colored with four colors, that is, each region of the map can be assigned one of four given colors such that neighboring regions are colored differently. Indeed, one such coloring is shown in the figure, where $r, b, g$ and $y$ denote red, blue, green and yellow, respectively. What does coloring the regions of a map have to do with graphs? Actually, there is a close connection. With each map, there is associated a graph $G$, called the dual of the map, whose vertices are the regions of the map and such that two vertices of $G$ are adjacent if the corresponding regions are neighboring regions. The dual of the map in Figure 10.3 is also shown in the figure. Observe that the graph $G$ of Figure 10.3 is a connected planar graph. In fact, the dual of every map is a connected planar graph. Conversely, every connected planar graph is the dual of some map. Indeed, representing the regions of a map and adjacency of regions by a graph actually occurred in the 1879 paper of Kempe. The term “graph” was evidently used for the first time only a year earlier by James Joseph Sylvester.
Coloring the regions of a map suggests coloring the vertices of its dual. Indeed, it suggests coloring the vertices of any graph. By a proper coloring (or, more simply, a coloring) of a graph $G$, we mean an assignment of colors (elements of some set) to the vertices of $G$, one color to each vertex, such that adjacent vertices are colored differently. The smallest number of colors in any coloring of a graph $G$ is called the chromatic number of $G$ and is denoted by $\chi(G)$. (The symbol $\chi$ is the Greek letter “chi.”) If it is possible to color (the vertices of) $G$ from a set of $k$ colors, then $G$ is said to be $k$-colorable. A coloring that uses $k$ colors is called a $k$-coloring. If $\chi(G)=k$, then $G$ is said to be $k$ chromatic and every $k$-coloring of $G$ is a minimum coloring of $G$.
Figure 10.3 shows a coloring of a graph $G$, namely, a coloring of the dual of the map in Figure 10.3. Necessarily then, $G$ is 4-colorable; indeed, $G$ is 4-chromatic. In fact, the coloring of $G$ in Figure 10.3 is suggested by the coloring of the map. Hence the Four Color Theorem gives us the following result, which is then a restatement of this famous theorem.
图论代写
数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|The Four Color Problem
这是怎么回事?我们要解释一下。在1969年出版的《休闲数学杂志》(Journal of Recreational mathematics)上发表的一篇题为《地图上色的数学》(the mathematics of map coloring)的文章中，作者、著名数学家h·s·m·唐纳德·考克斯特(h.s.m. (Donald) Coxeter)提到，在几乎每一次用美国地图上色来区分邻近各州的情况下，最多只能使用五到六种颜色。如果每两个有共同边界的州都被要求用不同的颜色来标记美国的州，那么可以用来标记州的颜色的最少数量是多少?然而，只有一个共同点的两个州，如犹他州和新墨西哥州，可以被涂成相同的颜色(见图10.1)。由于内华达州和犹他州是相邻的州，也就是说，它们有共同的边界，所以它们必须被分配不同的颜色。事实上，内华达州有一个由五个相邻州组成的环，即犹他州、爱达荷州、俄勒冈州、加利福尼亚州和亚利桑那州。因此，这五个州的颜色必须与内华达州不同。另一方面，与内华达州接壤的五个州需要三种颜色。所以总共需要四种颜色来给这六种状态上色。事实上，美国所有的州都可以用四种颜色来表示。
用最少的颜色在地图上给区域(无论是州、国家还是县)上色，这样邻近的区域(共享共同边界的区域)就会被涂上不同的颜色，这似乎并不是过去地图绘制者关心的问题。事实上，数学历史学家肯尼斯·梅(Kenneth May)在研究有关地图制作的书籍时，并没有发现这方面的证据。
那么，如果以某种方式将地图划分为区域，那么相邻区域的颜色不同，所需的最小颜色数是多少?为什么这个问题应该引起我们的关注?你可能会认为第一个问题的答案取决于地图，你是对的——尽管我们已经提到过，给美国的州涂颜色需要四种颜色，而四种颜色就足够了。然而，如果地图由许多区域组成(例如数十亿)，并且地图的设计使许多区域拥有大量邻近区域，那么这个问题的答案可能会非常不同。
数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Vertex Coloring
不难看出，图10.3中绘制的地图可以用四种颜色着色，也就是说，地图的每个区域可以分配四种给定颜色中的一种，从而使相邻区域的颜色不同。事实上，图中显示了一种这样的着色，其中$r, b, g$和$y$分别表示红色，蓝色，绿色和黄色。给地图上的区域上色和图表有什么关系?事实上，这两者之间有着密切的联系。对于每个映射，都有一个关联的图$G$，称为映射的对偶，其顶点是映射的区域，并且如果对应的区域是相邻区域，则$G$的两个顶点相邻。图10.3中映射的对偶也显示在图中。观察图10.3中的图$G$为连通平面图。实际上，每个映射的对偶都是一个连通的平面图。反过来说，每一个连通的平面图都是某个映射的对偶。事实上，用图来表示地图上的区域和区域之间的邻接关系实际上出现在1879年肯普的论文中。“图”一词显然是在一年前由詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特首次使用的。
给地图的区域上色意味着给其对偶的顶点上色。实际上，它建议给任何图形的顶点上色。通过图$G$的适当着色(或者更简单地说，着色)，我们的意思是为$G$的顶点分配颜色(某个集合的元素)，每个顶点一种颜色，使得相邻顶点的颜色不同。在图$G$的任何着色中，最小的颜色数称为$G$的色数，用$\chi(G)$表示。(符号$\chi$是希腊字母“chi”)如果可以从一组$k$颜色中为$G$(顶点)上色，则称$G$是$k$可上色的。使用$k$颜色的着色称为$k$-着色。如果$\chi(G)=k$，则称$G$是$k$着色的，并且$G$的每$k$着色都是$G$的最小着色。
图10.3显示了图$G$的着色，即图10.3中映射的对偶的着色。因此，$G$必然是4色的;的确，$G$是四色的。实际上，图10.3中$G$的着色是由地图的着色建议的。因此，四色定理给出了以下结果，这是对这个著名定理的重述。
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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。