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数学代写|信息论代写Information Theory代考|GENERATION OF DISCRETE DISTRIBUTIONS FROM FAIRCOINS

如果你也在 怎样代写信息论information theory这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。信息论information theory的一个关键衡量标准是熵。熵量化了随机变量的值或随机过程的结果中所涉及的不确定性的数量。例如,确定一个公平的抛硬币的结果(有两个同样可能的结果)比确定一个掷骰子的结果(有六个同样可能的结果)提供的信息要少(熵值较低)。

信息论information theory基本课题的应用包括源编码/数据压缩(如ZIP文件),以及信道编码/错误检测和纠正(如DSL)。它的影响对于旅行者号深空任务的成功、光盘的发明、移动电话的可行性和互联网的发展都至关重要。该理论在其他领域也有应用,包括统计推理、密码学、神经生物学、感知、语言学、分子代码的进化和功能(生物信息学)、热物理、分子动力学、量子计算、黑洞、信息检索、情报收集、剽窃检测、模式识别、异常检测甚至艺术创作。

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数学代写|信息论代写Information Theory代考|GENERATION OF DISCRETE DISTRIBUTIONS FROM FAIRCOINS

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In the early sections of this chapter we considered the problem of representing a random variable by a sequence of bits such that the expected length of the representation was minimized. It can be argued (Problem 5.5.29) that the encoded sequence is essentially incompressible and therefore has an entropy rate close to 1 bit per symbol. Therefore, the bits of the encoded sequence are essentially fair coin flips.

In this section we take a slight detour from our discussion of source coding and consider the dual question. How many fair coin flips does it take to generate a random variable $X$ drawn according to a specified probability mass function $\mathbf{p}$ ? We first consider a simple example.

Example 5.11.1 Given a sequence of fair coin tosses (fair bits), suppose that we wish to generate a random variable $X$ with distribution
$$
X= \begin{cases}a & \text { with probability } \frac{1}{2} \ b & \text { with probability } \frac{1}{4} \ c & \text { with probability } \frac{1}{4}\end{cases}
$$
It is easy to guess the answer. If the first bit is 0 , we let $X=a$. If the first two bits are 10 , we let $X=b$. If we see 11 , we let $X=c$. It is clear that $X$ has the desired distribution.

We calculate the average number of fair bits required for generating the random variable, in this case as $\frac{1}{2}(1)+\frac{1}{4}(2)+\frac{1}{4}(2)=1.5$ bits. This is also the entropy of the distribution. Is this unusual? No, as the results of this section indicate.

数学代写|信息论代写Information Theory代考|THE HORSE RACE

Assume that $m$ horses run in a race. Let the $i$ th horse win with probability $p_i$. If horse $i$ wins, the payoff is $o_i$ for 1 (i.e., an investment of 1 dollar on horse $i$ results in $o_i$ dollars if horse $i$ wins and 0 dollars if horse $i$ loses).

There are two ways of describing odds: $a$-for-1 and $b$-to-1. The first refers to an exchange that takes place before the race-the gambler puts down 1 dollar before the race and at $a$-for-1 odds will receive $a$ dollars after the race if his horse wins, and will receive nothing otherwise. The second refers to an exchange after the race-at $b$-to-1 odds, the gambler will pay 1 dollar after the race if his horse loses and will pick up $b$ dollars after the race if his horse wins. Thus, a bet at $b$-to-1 odds is equivalent to a bet at $a$-for-1 odds if $b=a-1$. For example, fair odds on a coin flip would be 2 -for-1 or 1-to-1, otherwise known as even odds.

We assume that the gambler distributes all of his wealth across the horses. Let $b_i$ be the fraction of the gambler’s wealth invested in horse $i$, where $b_i \geq 0$ and $\sum b_i=1$. Then if horse $i$ wins the race, the gambler will receive $o_i$ times the amount of wealth bet on horse $i$. All the other bets are lost. Thus, at the end of the race, the gambler will have multiplied his wealth by a factor $b_i o_i$ if horse $i$ wins, and this will happen with probability $p_i$. For notational convenience, we use $b(i)$ and $b_i$ interchangeably throughout this chapter.

The wealth at the end of the race is a random variable, and the gambler wishes to “maximize” the value of this random variable. It is tempting to bet everything on the horse that has the maximum expected return (i.e., the one with the maximum $p_i o_i$ ). But this is clearly risky, since all the money could be lost.

Some clarity results from considering repeated gambles on this race. Now since the gambler can reinvest his money, his wealth is the product of the gains for each race. Let $S_n$ be the gambler’s wealth after $n$ races. Then
$$
S_n=\prod_{i=1}^n S\left(X_i\right),
$$
where $S(X)=b(X) o(X)$ is the factor by which the gambler’s wealth is multiplied when horse $X$ wins.

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信息论代写

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在本章的前几节中,我们考虑了用一串比特来表示一个随机变量的问题,使得表示的期望长度最小化。可以认为(问题5.5.29),编码序列本质上是不可压缩的,因此每个符号的熵率接近1位。因此,编码序列的位基本上是均匀的硬币投掷。

在本节中,我们稍微偏离源代码的讨论,考虑双重问题。多少次投掷硬币才能产生一个随机变量$X$根据一个特定的概率质量函数$\mathbf{p}$ ?我们首先考虑一个简单的例子。

给定一个公平的硬币投掷序列(公平位),假设我们希望生成一个具有分布的随机变量$X$
$$
X= \begin{cases}a & \text { with probability } \frac{1}{2} \ b & \text { with probability } \frac{1}{4} \ c & \text { with probability } \frac{1}{4}\end{cases}
$$
很容易猜出答案。如果第一个位是0,我们让$X=a$。如果前两位是10,我们让$X=b$。如果是11,我们让$X=c$。很明显,$X$具有所需的发行版。

我们计算生成随机变量所需的平均公平位数,在本例中为$\frac{1}{2}(1)+\frac{1}{4}(2)+\frac{1}{4}(2)=1.5$位。这也是分布的熵。这很不寻常吗?不,正如本节的结果所示。

数学代写|信息论代写Information Theory代考|THE HORSE RACE

假设$m$马参加了一场比赛。让$i$这匹马以$p_i$的概率获胜。如果马$i$赢了,1的收益是$o_i$(即,在马$i$上投资1美元,如果马$i$赢了,结果是$o_i$美元,如果马$i$输了,结果是0美元)。

有两种描述赔率的方法:$a$ -for-1和$b$ -to-1。第一个是指在比赛前进行的交易——赌徒在比赛前投入1美元,如果他的马赢了,在$a$赔1的赔率下,他将在比赛后获得$a$美元,否则将一无所获。第二种是指比赛后的交易——以$b$比1的赔率,如果他的马输了,赌徒将在比赛后支付1美元,如果他的马赢了,他将在比赛后获得$b$美元。因此,以$b$比1的赔率下注相当于以$a$比1的赔率下注(如果$b=a-1$)。例如,掷硬币的公平几率是2比1或1比1,或者称为偶数几率。

我们假设赌徒将他所有的财富分配给了这些马。设$b_i$为赌徒投资于马的财富的一部分$i$,其中$b_i \geq 0$和$\sum b_i=1$。然后,如果马$i$赢得比赛,赌徒将获得$o_i$倍的财富投注马$i$。所有其他赌注都输了。因此,在比赛结束时,如果马$i$获胜,赌徒将把他的财富乘以一个因子$b_i o_i$,这将以$p_i$的概率发生。为了表示方便,我们在本章中交替使用$b(i)$和$b_i$。

比赛结束时的财富是一个随机变量,赌徒希望“最大化”这个随机变量的价值。人们很容易把所有的赌注都押在预期收益最大的那匹马身上(即,拥有最大收益$p_i o_i$的那匹马)。但这显然是有风险的,因为所有的钱都可能失去。

考虑到在这场比赛中反复的赌博,我们可以弄清楚一些情况。既然赌徒可以再投资他的钱,他的财富就是每个种族收益的产物。让$S_n$成为$n$比赛后赌徒的财富。然后
$$
S_n=\prod_{i=1}^n S\left(X_i\right),
$$
其中$S(X)=b(X) o(X)$是当马匹$X$获胜时赌徒的财富成倍增加的因素。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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