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数学代写|信息论代写Information Theory代考|KRAFT INEQUALITY

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We wish to construct instantaneous codes of minimum expected length to describe a given source. It is clear that we cannot assign short codewords to all source symbols and still be prefix-free. The set of codeword lengths possible for instantaneous codes is limited by the following inequality.
Theorem 5.2.1 (Kraft inequality) For any instantaneous code (prefix code) over an alphabet of size $D$, the codeword lengths $l_1, l_2, \ldots, l_m$ must satisfy the inequality
$$
\sum_i D^{-l_i} \leq 1
$$
Conversely, given a set of codeword lengths that satisfy this inequality, there exists an instantaneous code with these word lengths.

Proof: Consider a $D$-ary tree in which each node has $D$ children. Let the branches of the tree represent the symbols of the codeword. For example, the $D$ branches arising from the root node represent the $D$ possible values of the first symbol of the codeword. Then each codeword is represented by a leaf on the tree. The path from the root traces out the symbols of the codeword. A binary example of such a tree is shown in Figure 5.2. The prefix condition on the codewords implies that no codeword is an ancestor of any other codeword on the tree. Hence, each codeword eliminates its descendants as possible codewords.

Let $l_{\max }$ be the length of the longest codeword of the set of codewords. Consider all nodes of the tree at level $l_{\max }$. Some of them are codewords, some are descendants of codewords, and some are neither. A codeword at level $l_i$ has $D^{l_{\max }-l_i}$ descendants at level $l_{\max }$. Each of these descendant sets must be disjoint. Also, the total number of nodes in these sets must be less than or equal to $D^{l_{\max }}$. Hence, summing over all the codewords, we have
$$
\sum D^{l_{\max }-l_i} \leq D^{l_{\max }}
$$
or
$$
\sum D^{-l_i} \leq 1
$$
which is the Kraft inequality.

数学代写|信息论代写Information Theory代考|OPTIMAL CODES

In Section 5.2 we proved that any codeword set that satisfies the prefix condition has to satisfy the Kraft inequality and that the Kraft inequality is a sufficient condition for the existence of a codeword set with the specified set of codeword lengths. We now consider the problem of finding the prefix code with the minimum expected length. From the results of Section 5.2 , this is equivalent to finding the set of lengths $l_1, l_2, \ldots, l_m$ satisfying the Kraft inequality and whose expected length $L=\sum p_i l_i$ is less than the expected length of any other prefix code. This is a standard optimization problem: Minimize
$$
L=\sum p_i l_i
$$
over all integers $l_1, l_2, \ldots, l_m$ satisfying
$$
\sum D^{-l_i} \leq 1
$$
A simple analysis by calculus suggests the form of the minimizing $l_i^*$. We neglect the integer constraint on $l_i$ and assume equality in the constraint. Hence, we can write the constrained minimization using Lagrange multipliers as the minimization of
$$
J=\sum p_i l_i+\lambda\left(\sum D^{-l_i}\right)
$$
Differentiating with respect to $l_i$, we obtain
$$
\frac{\partial J}{\partial l_i}=p_i-\lambda D^{-l_i} \log _e D .
$$
Setting the derivative to 0 , we obtain
$$
D^{-l_i}=\frac{p_i}{\lambda \log _e D} .
$$

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信息论代写

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我们希望构造最小期望长度的瞬时码来描述一个给定的源。很明显,我们不能将短码字分配给所有源符号而仍然没有前缀。瞬时码可能的码字长度集受以下不等式的限制。
定理5.2.1 (Kraft不等式)对于大小为$D$的字母表上的任何瞬时码(前缀码),码字长度$l_1, l_2, \ldots, l_m$必须满足不等式
$$
\sum_i D^{-l_i} \leq 1
$$
相反,给定一组满足这个不等式的码字长度,则存在一个具有这些码字长度的瞬时码。

证明:考虑一个$D$ -ary树,其中每个节点都有$D$个子节点。让树的分支表示码字的符号。例如,从根节点产生的$D$分支表示码字的第一个符号的$D$可能值。然后每个码字由树上的一个叶子表示。从根开始的路径追踪出码字的符号。这种树的二值示例如图5.2所示。码字上的前缀条件意味着没有码字是树上任何其他码字的祖先。因此,每个码字将其后代作为可能的码字消除。

设$l_{\max }$为码字集合中最长码字的长度。考虑级别为$l_{\max }$的树的所有节点。其中一些是码字,一些是码字的后代,还有一些两者都不是。级别$l_i$的码字在级别$l_{\max }$有$D^{l_{\max }-l_i}$的后代。每一个后代集合必须是不相交的。此外,这些集合中的节点总数必须小于或等于$D^{l_{\max }}$。因此,把所有码字加起来,我们得到
$$
\sum D^{l_{\max }-l_i} \leq D^{l_{\max }}
$$

$$
\sum D^{-l_i} \leq 1
$$
也就是卡夫不等式。

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在第5.2节中,我们证明了满足前缀条件的码字集必须满足Kraft不等式,并且Kraft不等式是具有指定码字长度集的码字集存在的充分条件。现在我们考虑寻找具有最小期望长度的前缀码的问题。根据第5.2节的结果,这相当于找到满足Kraft不等式的长度集$l_1, l_2, \ldots, l_m$,其期望长度$L=\sum p_i l_i$小于任何其他前缀码的期望长度。这是一个标准的优化问题:最小化
$$
L=\sum p_i l_i
$$
除以所有满足的整数$l_1, l_2, \ldots, l_m$
$$
\sum D^{-l_i} \leq 1
$$
通过微积分的简单分析,可以得出最小化$l_i^*$的形式。我们忽略了$l_i$上的整数约束,假设约束是相等的。因此,我们可以用拉格朗日乘子将约束最小化写成
$$
J=\sum p_i l_i+\lambda\left(\sum D^{-l_i}\right)
$$
对$l_i$求导,我们得到
$$
\frac{\partial J}{\partial l_i}=p_i-\lambda D^{-l_i} \log _e D .
$$
设导数为0,我们得到
$$
D^{-l_i}=\frac{p_i}{\lambda \log _e D} .
$$

数学代写|信息论代写Information Theory代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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