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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Cauchy Sequences

如果你也在 怎样代写拓扑学Topology 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。拓扑学Topology背后的激励性见解是,一些几何问题并不取决于相关物体的确切形状,而是取决于它们的组合方式。例如,正方形和圆形有许多共同的属性:它们都是一维物体(从拓扑学的角度来看),都把平面分成两部分,即内部和外部。

拓扑学Topology MATH10076拓扑空间是一个被赋予结构的集合,称为拓扑,它允许定义子空间的连续变形,以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间,以及更一般的,公制空间都是拓扑空间的例子,因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有:维度,它可以区分线和面;紧凑性,它可以区分线和圆;连通性,它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Cauchy Sequences

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Cauchy Sequences

Definition 6.24 A sequence $\left{a_n\right}$ in a metric space $(X, d)$ is a Cauchy sequence if for any $\varepsilon>0$ there exists an integer $N$ such that $d\left(a_n, a_m\right)<\varepsilon$ for any $n, m \geq N$. Every convergent sequence is a Cauchy sequence: in fact, if $p$ is the limit of $\left{a_n\right}$, then for every $\varepsilon>0$ there is an $N$ such that $a_n \in B(p, \varepsilon / 2)$ for any $n \geq N$; the triangle inequality implies $d\left(a_n, a_m\right)<\varepsilon$ for any $n, m \geq N$.

Lemma 6.25 A Cauchy sequence is convergent if and only if it has limit points. In particular, any Cauchy sequence in a sequentially compact metric space converges.
Proof Let $\left{a_n\right}$ be a Cauchy sequence in a metric space $(X, d)$, with limit point $p \in X$. We’ll show that for every $\varepsilon>0$ we can find $N \in \mathbb{N}$ such that $d\left(p, a_n\right)<\varepsilon$ for any $n \geq N$. The Cauchy property implies that there’s an $M \in \mathbb{N}$ such that $d\left(a_n, a_m\right)<\varepsilon / 2$ for any $n, m \geq M$; as $p$ is a limit point, there also is an $N \geq M$ such that $d\left(p, a_N\right)<\varepsilon / 2$. Now use the triangle inequality
$$
d\left(p, a_n\right) \leq d\left(p, a_N\right)+d\left(a_N, a_n\right)<\varepsilon \text { for every } n \geq M
$$
If a Cauchy sequence has a convergent subsequence, by Lemma 6.17 it has a limit point.

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Compact Metric Spaces

Definition 6.30 A metric space is said to be totally bounded if it can be covered by a finite number of open balls of radius $r$, for any positive real number $r$.

Each totally bounded metric space is bounded: if $X$ is the finite union of balls $B\left(x_1, 1\right), \ldots, B\left(x_n, 1\right)$ and $M$ is the maximum distance between any two centres $x_i$, by the triangle inequality the distance of any two points of $X$ is at most $M+2$. Any discrete and infinite space, with the distance of Example 3.34, is bounded but not totally bounded.
Lemma 6.31 Every sequentially compact metric space is totally bounded.
Proof Take $(X, d)$ sequentially compact and suppose, by contradiction, there is an $r>0$ such that $X$ cannot be covered by finitely many open balls of radius $r$. We construct recursively a sequence $\left{a_n\right}$ : choose $a_1 \in X$ arbitrarily, and for any $n>1$ let $a_n$ be some element in the non-empty closed set
$$
X-\bigcup_{i=1}^{n-1} B\left(a_i, r\right)
$$
Since $d\left(a_n, a_m\right) \geq r$ for every $n>m$, no subsequence of $\left{a_n\right}$ can converge.

Lemma 6.32 Every totally bounded metric space is second countable.
Proof Let $X$ be totally bounded. For any $n \in \mathbb{N}$ there’s a finite subset $E_n \subset X$ such that $X=\cup\left{B\left(e, 2^{-n}\right) \mid e \in E_n\right}$. The countable set $E=\cup E_n$ is thus dense, making $X$ separable. Invoking Lemma 6.7 allows to conclude.

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Cauchy Sequences

拓扑学代写

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定义6.24度量空间$(X, d)$中的序列$\left{a_n\right}$是柯西序列,如果对任意$\varepsilon>0$存在整数$N$,使得任意$n, m \geq N$存在整数$d\left(a_n, a_m\right)<\varepsilon$。每一个收敛序列都是柯西序列:事实上,如果$p$是$\left{a_n\right}$的极限,那么对于每一个$\varepsilon>0$存在一个$N$使得$a_n \in B(p, \varepsilon / 2)$对于任何$n \geq N$;三角不等式表示对于任意$n, m \geq N$都是$d\left(a_n, a_m\right)<\varepsilon$。

引理6.25柯西序列是收敛的当且仅当它有极限点。特别地,在序紧度量空间中任何柯西序列都是收敛的。
证明设$\left{a_n\right}$是度量空间$(X, d)$中的柯西序列,极限点$p \in X$。我们将证明,对于每个$\varepsilon>0$,我们都可以找到$N \in \mathbb{N}$,这样对于任何$n \geq N$,我们都可以找到$d\left(p, a_n\right)<\varepsilon$。柯西性质意味着存在一个$M \in \mathbb{N}$使得$d\left(a_n, a_m\right)<\varepsilon / 2$对于任何$n, m \geq M$;因为$p$是一个极限点,所以也有一个$N \geq M$使得$d\left(p, a_N\right)<\varepsilon / 2$。现在用三角形不等式
$$
d\left(p, a_n\right) \leq d\left(p, a_N\right)+d\left(a_N, a_n\right)<\varepsilon \text { for every } n \geq M
$$
如果一个柯西序列有收敛子序列,根据引理6.17,它有一个极限点。

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定义6.30对于任意正实数$r$,如果一个度量空间可以被有限个半径为$r$的开放球所覆盖,则称该空间是完全有界的。

每个完全有界的度量空间都是有界的:如果$X$是球的有限并集$B\left(x_1, 1\right), \ldots, B\left(x_n, 1\right)$, $M$是任意两个中心之间的最大距离$x_i$,根据三角形不等式,$X$的任意两点的距离最多为$M+2$。在例3.34的距离下,任何离散的无限空间都是有界的,但不是完全有界的。
引理6.31每一个序紧度量空间都是完全有界的。
取$(X, d)$序紧,根据矛盾,假设存在一个$r>0$,使得$X$不能被有限个半径为$r$的开放球所覆盖。我们递归地构造一个序列$\left{a_n\right}$:任意选择$a_1 \in X$,对于任意$n>1$,让$a_n$为非空闭集中的某个元素
$$
X-\bigcup_{i=1}^{n-1} B\left(a_i, r\right)
$$
因为$d\left(a_n, a_m\right) \geq r$对于每个$n>m$,没有$\left{a_n\right}$的子序列可以收敛。

引理6.32每一个完全有界度量空间都是秒可数的。
证明设$X$是完全有界的。对于任何$n \in \mathbb{N}$都有一个有限子集$E_n \subset X$使得$X=\cup\left{B\left(e, 2^{-n}\right) \mid e \in E_n\right}$。可数集合$E=\cup E_n$因此是密集的,使得$X$是可分离的。调用引理6.7允许得出结论。

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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