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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Quotients by Groups of Homeomorphisms

如果你也在 怎样代写拓扑学Topology 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。拓扑学Topology背后的激励性见解是,一些几何问题并不取决于相关物体的确切形状,而是取决于它们的组合方式。例如,正方形和圆形有许多共同的属性:它们都是一维物体(从拓扑学的角度来看),都把平面分成两部分,即内部和外部。

拓扑学Topology MATH10076拓扑空间是一个被赋予结构的集合,称为拓扑,它允许定义子空间的连续变形,以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间,以及更一般的,公制空间都是拓扑空间的例子,因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有:维度,它可以区分线和面;紧凑性,它可以区分线和圆;连通性,它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Quotients by Groups of Homeomorphisms

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Quotients by Groups of Homeomorphisms

We indicate with $\operatorname{Homeo}(X)$ the set of homeomorphisms of a topological space $X$ to itself. The composition of maps induces on $\operatorname{Homeo}(X)$ a group structure, where the identity map is the neutral element.
Let $G \subset \operatorname{Homeo}(X)$ be a subgroup. Then
$x \sim y \quad$ if there exists $g \in G$ such that $y=g(x)$,for $x, y \in X$, defines an equivalence relation on $X$, whose cosets are called G-orbits, and whose quotient space is written $X / G$.

Proposition 5.15 Let $G \subset \operatorname{Homeo}(X)$ be a group of homeomorphisms of a space $X$, and $\pi: X \rightarrow X / G$ the canonical quotient map. Then $\pi$ is an open map. If $G$ is a finite group, $\pi$ is closed as well.
Proof For any subset $A \subset X$
$$
\pi^{-1}(\pi(A))=\cup{g(A) \mid g \in G}
$$
If $A$ is open, $g(A)$ is open for any $g \in G$, so $\pi^{-1}(\pi(A))$ is a union of open sets, hence open; by definition of quotient topology $\pi(A)$ is open.
In case $G$ is finite the same argument with $A$ closed remains valid.
Although even the quotient of a Hausdorff space by some group of homeomorphisms may not be Hausdorff (cf. Exercise 5.13), we have a better arsenal to decide whether a given quotient $X / \sim$ is Hausdorff in case we mod out by $G \subset \operatorname{Homeo}(X)$.

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Projective Spaces

Amongst the foremost examples of quotient spaces by groups of homeomorphisms we must include the real projective spaces $\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$. By definition $\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$ is the quotient of $\mathbb{R}^{n+1}-{0}$ by the group of homotheties (dilations): in other words the quotient under the equivalence relation
$$
x \sim y \Longleftrightarrow x=\lambda y \text { for some } \lambda \in \mathbb{R}-{0}
$$
Note that there’s a natural $1-1$ correspondence between $\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$ and the set of 1-dimensional vector subspaces (lines) of $\mathbb{R}^{n+1}$ through the origin. Given a vector $\left(x_0, \ldots, x_n\right) \in \mathbb{R}^{n+1}-{0}$, the equivalence class in $\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$ is usually written $\left[x_0, \ldots, x_n\right]$.

We put on $\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$ the quotient topology; by Proposition 5.15 the canonical map $\pi: \mathbb{R}^{n+1}-{0} \rightarrow \mathbb{P}^n(\mathbb{R})$ is an open identification.

Composing the inclusion $i: S^n \rightarrow \mathbb{R}^{n+1}-{0}$ and $\pi$ produces a continuous, onto map that factorises through a continuous bijection $f: S^n / \sim \rightarrow \mathbb{P}^n(\mathbb{R})$, where for $x, y \in S^n$ we set $x \sim y$ iff $x= \pm y$. We claim that $f$ is a homeomorphism; to this end let’s consider the commutative diagram
$$
\begin{aligned}
& S^n / \sim \stackrel{f}{\longrightarrow} \mathbb{P}^n(\mathbb{R}) \quad \stackrel{f^{-1}}{\longrightarrow} S^n / \sim \
&
\end{aligned}
$$
Both the inclusion $i$ and the map $r$ are continuous, so also $\pi i$ and $\pi^{\prime} r$ are continuous. By Proposition 5.8, then, $f$ and $f^{-1}$ are continuous.

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拓扑学代写

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我们用$\operatorname{Homeo}(X)$表示拓扑空间$X$对自身的同胚集。映射的组成在$\operatorname{Homeo}(X)$上诱导出一个群结构,其中单位映射是中性元素。
设$G \subset \operatorname{Homeo}(X)$为子组。然后
$x \sim y \quad$,如果存在$g \in G$,使得$y=g(x)$对于$x, y \in X$在$X$上定义等价关系,其余集称为g轨道,其商空间为$X / G$。

命题5.15设$G \subset \operatorname{Homeo}(X)$为空间$X$的一组同胚,$\pi: X \rightarrow X / G$为正则商映射。那么$\pi$就是一个开放的地图。如果$G$是有限群,那么$\pi$也是闭群。
对任意子集的证明$A \subset X$
$$
\pi^{-1}(\pi(A))=\cup{g(A) \mid g \in G}
$$
如果$A$是开放的,那么$g(A)$对于任何$g \in G$都是开放的,因此$\pi^{-1}(\pi(A))$是开放集的并集,因此是开放的;根据定义,商拓扑$\pi(A)$是开放的。
如果$G$是有限的,那么与$A$ closed相同的参数仍然有效。
虽然即使是由一组同胚构成的Hausdorff空间的商也可能不是Hausdorff(参见练习5.13),但是我们有一个更好的方法来确定一个给定的商$X / \sim$是否为Hausdorff,如果我们用$G \subset \operatorname{Homeo}(X)$进行建模的话。

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在同胚群商空间的最重要的例子中,我们必须包括实射影空间$\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$。根据定义$\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$是$\mathbb{R}^{n+1}-{0}$被同质群(扩张)的商,即等价关系下的商
$$
x \sim y \Longleftrightarrow x=\lambda y \text { for some } \lambda \in \mathbb{R}-{0}
$$
请注意,$\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$与通过原点的$\mathbb{R}^{n+1}$的一组一维矢量子空间(线)之间存在一种自然的$1-1$对应关系。给定一个向量$\left(x_0, \ldots, x_n\right) \in \mathbb{R}^{n+1}-{0}$, $\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$中的等价类通常写成$\left[x_0, \ldots, x_n\right]$。

我们把商拓扑放到$\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$上;根据命题5.15,规范映射$\pi: \mathbb{R}^{n+1}-{0} \rightarrow \mathbb{P}^n(\mathbb{R})$是一个开放的标识。

组合包含$i: S^n \rightarrow \mathbb{R}^{n+1}-{0}$和$\pi$生成一个连续的映射,该映射通过一个连续的双注入$f: S^n / \sim \rightarrow \mathbb{P}^n(\mathbb{R})$进行分解,对于$x, y \in S^n$,我们设置$x \sim y$和$x= \pm y$。我们声明$f$是一个同胚;为此,让我们考虑交换图
$$
\begin{aligned}
& S^n / \sim \stackrel{f}{\longrightarrow} \mathbb{P}^n(\mathbb{R}) \quad \stackrel{f^{-1}}{\longrightarrow} S^n / \sim \
&
\end{aligned}
$$
包含$i$和地图$r$都是连续的,所以$\pi i$和$\pi^{\prime} r$也是连续的。因此,根据命题5.8,$f$和$f^{-1}$是连续的。

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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