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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Sub-bases and Alexander’s Theorem

如果你也在 怎样代写拓扑学Topology 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。拓扑学Topology背后的激励性见解是,一些几何问题并不取决于相关物体的确切形状,而是取决于它们的组合方式。例如,正方形和圆形有许多共同的属性:它们都是一维物体(从拓扑学的角度来看),都把平面分成两部分,即内部和外部。

拓扑学Topology MATH10076拓扑空间是一个被赋予结构的集合,称为拓扑,它允许定义子空间的连续变形,以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间,以及更一般的,公制空间都是拓扑空间的例子,因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有:维度,它可以区分线和面;紧凑性,它可以区分线和圆;连通性,它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Sub-bases and Alexander’s Theorem

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Sub-bases and Alexander’s Theorem

Definition 7.1 A sub-basis of a topological space is a family $\mathcal{P}$ of open sets such that finite intersections in $\mathcal{P}$ form a basis of the topology.
Every basis is also a sub-basis.
Example 7.2 A sub-basis for the Euclidean topology on $\mathbb{R}$ is given by the open sets ]$-\infty, a[] b,,+\infty[$ as $a, b \in \mathbb{R}$ vary, since open intervals $] a, b[$ form a basis, and we can write $] a, b[=]-\infty, b[\cap] a,+\infty[$.

Lemma 7.3 Let $X, Y$ be topological spaces and $\mathcal{P}$ a sub-basis of $Y$. A map $f: X \rightarrow$ $Y$ is continuous if and only if $f^{-1}(U)$ is open for every $U \in \mathcal{P}$.
Proof Just observe that $f^{-1}$ commutes with union and intersection.
Let $\mathcal{P}$ be a cover of a set $X$, and consider the family $\mathcal{B}$ of finite intersections in $\mathcal{P}$. If $A, B \in \mathcal{B}$ then $A \cap B \in \mathcal{B}$, and $\mathcal{B}$ covers $X$. By Theorem $3.7 \mathcal{B}$ is a basis of a topology that has $\mathcal{P}$ as sub-basis. It’s easy to see that this topology is the coarsest one having $\mathcal{P}$ as open sets.

Example 7.4 Take a set $S$ and a topological space $X$; in the set $X^S$ of maps $f: S \rightarrow X$ consider the family $\mathcal{P}$ of subsets
$$
P(s, U)={f: S \rightarrow X \mid f(s) \in U}
$$
for any $s \in S$ and any open set $U$. The coarsest topology on $X^S$ containing $\mathcal{P}$ is called pointwise-convergence topology, and has $\mathcal{P}$ as sub-basis.

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Infinite Products

Given an arbitrary family $\left{X_i \mid i \in I\right}$ of sets one defines the Cartesian product $X=\prod_{i \in I} X_i$ as the set of all maps $x: I \rightarrow \cup_i X_i$ such that $x_i \in X_i$ for every index $i \in I$. That’s to say that any element of the product is a collection $\left{x_i\right}_{i \in I}$ indexed by $I$ such that $x_i \in X_i$ for every $i$. The axiom of choice ensures that $X$ isn’t empty provided each $X_i$ is non-empty. The projections $p_i: X \rightarrow X_i$ are defined as $p_i(x)=x_i$

When the $X_i$ are all equal to some set $X_0$, the product $\prod_{i \in I} X_i=\prod_{i \in I} X_0$ coincides with $X_0^I$, the set of maps $I \rightarrow X_0$. For any set $Y$ and any $f: Y \rightarrow$ $\prod_{i \in I} X_i$ we write $f_i$ to mean $f$ followed by the projection $p_i$. Note that $f$ is uniquely determined by the family $\left{f_i: Y \rightarrow X_i \mid i \in I\right}$.

If all $X_i$ are topological spaces, we define product topology on $X$ the coarsest one for which the projections are continuous. This amounts to say that $p_i^{-1}(U)$, for every $i \in I$ and $U$ open in $X_i$, constitute a sub-basis that we shall call canonical sub-basis. A canonical basis is given by open sets that are finite intersections of the canonical sub-basis.

When the $X_i$ are all equal the product topology coincides with the pointwiseconvergence topology (Example 7.4), because the two have the same sub-basis.
Lemma 7.6 In the previous notations, a map $f: Y \rightarrow \prod_{i \in I} X_i$ is continuous if and only if all its components $f_i: Y \rightarrow X_i$ are continuous.

Proof The projections $p_i$ are continuous, so $f$ continuous implies that the components $f_i=p_i f$ are.

Conversely, suppose each component $f_i$ is continuous. For any open set $p_i^{-1}(U)$ in the canonical sub-basis we have $f^{-1}\left(p_i^{-1}(U)\right)=f_i^{-1}(U)$ is open, implying $f$ continuous.

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拓扑学代写

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定义7.1拓扑空间的子基是一个族 $\mathcal{P}$ 有有限交集的开集 $\mathcal{P}$ 形成拓扑的基础。
每个基也是一个子基。
例7.2上欧几里得拓扑的子基 $\mathbb{R}$ 由开集给出]$-\infty, a[] b,,+\infty[$ as $a, b \in \mathbb{R}$ 变化,因为开放的间隔 $] a, b[$ 形成一个基底,我们可以写 $] a, b[=]-\infty, b[\cap] a,+\infty[$.

引理7.3设$X, Y$为拓扑空间,$\mathcal{P}$为$Y$的一个子基。当且仅当$f^{-1}(U)$对每个$U \in \mathcal{P}$都打开时,映射$f: X \rightarrow$$Y$是连续的。
只要观察$f^{-1}$与并和交集的通勤。
设$\mathcal{P}$为集合$X$的一个覆盖,并考虑$\mathcal{P}$中的有限交集族$\mathcal{B}$。如果是$A, B \in \mathcal{B}$则是$A \cap B \in \mathcal{B}$,而$\mathcal{B}$涵盖了$X$。根据定理$3.7 \mathcal{B}$是以$\mathcal{P}$为子基的拓扑的基。很容易看出,这个拓扑是最粗糙的拓扑,它的开集为$\mathcal{P}$。

例7.4取一个集合$S$和一个拓扑空间$X$;在映射集$X^S$$f: S \rightarrow X$中,考虑子集族$\mathcal{P}$
$$
P(s, U)={f: S \rightarrow X \mid f(s) \in U}
$$
对于任意$s \in S$和任意开集$U$。包含$\mathcal{P}$的$X^S$上最粗糙的拓扑称为点向收敛拓扑,以$\mathcal{P}$为子基。

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给定任意的集合族$\left{X_i \mid i \in I\right}$,定义笛卡尔积$X=\prod_{i \in I} X_i$为所有映射的集合$x: I \rightarrow \cup_i X_i$,使得$x_i \in X_i$对于每个索引$i \in I$。也就是说,产品的任何元素都是一个集合$\left{x_i\right}_{i \in I}$,由$I$索引,使得$x_i \in X_i$对应每个$i$。选择公理确保$X$不是空的,只要每个$X_i$都是非空的。投影$p_i: X \rightarrow X_i$定义为 $p_i(x)=x_i$

当$X_i$都等于某个集合$X_0$时,乘积$\prod_{i \in I} X_i=\prod_{i \in I} X_0$与映射集合$I \rightarrow X_0$$X_0^I$重合。对于任意集合$Y$和任意$f: Y \rightarrow$$\prod_{i \in I} X_i$,我们写$f_i$表示$f$,后面跟着投影$p_i$。请注意,$f$是由家族$\left{f_i: Y \rightarrow X_i \mid i \in I\right}$唯一确定的。

如果所有$X_i$都是拓扑空间,我们在$X$上定义乘积拓扑,其投影是连续的最粗糙的一个。这就是说,对于每一个在$X_i$中开着的$i \in I$和$U$, $p_i^{-1}(U)$构成了一个子基,我们称之为规范子基。正则基由开集给出,开集是正则子基的有限交。

当$X_i$都相等时,乘积拓扑与点捻收敛拓扑(例7.4)一致,因为两者具有相同的子基。
引理7.6在前面的记号中,映射$f: Y \rightarrow \prod_{i \in I} X_i$是连续的当且仅当它的所有分量$f_i: Y \rightarrow X_i$是连续的。

投影$p_i$是连续的,所以$f$连续意味着分量$f_i=p_i f$是连续的。

反过来,假设每个组件$f_i$都是连续的。对于正则子基中的任意开集$p_i^{-1}(U)$,我们有$f^{-1}\left(p_i^{-1}(U)\right)=f_i^{-1}(U)$是开的,意味着$f$连续。

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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