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# 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Circumscribed ellipsoid

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## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Circumscribed ellipsoid

Given by a set of points $a_1, \ldots, a_m \in R^n$, find an ellipsoid $W$, which contains all points $\left{a_i\right}$ and which volume is as small as possible.
Let us pose this problem in a formal way. First of all note, that any bounded ellipsoid $W \subset R^n$ can be represented as
$$W=\left{x \in R^n \mid x=H^{-1}(v+u),|u| \leq 1\right},$$
where $H \in \operatorname{int} \mathcal{P}_n$ and $v \in R^n$. Then inclusion $a \in W$ is equivalent to inequality $|H a-v| \leq 1$. Note also that
$$\operatorname{vol}_n W=\operatorname{vol}_n B_2(0,1) \cdot \operatorname{det} H^{-1}=\frac{\operatorname{vol}_n B_2(0,1)}{\operatorname{det} H} .$$

Thus, our problem is as follows:
$$\begin{array}{ll} & \min _{H, v, \tau} \tau, \ \text { s.t. } & -\ln \operatorname{det} H \leq \tau, \ & \left|H a_i-v\right| \leq 1, i=1 \ldots m, \ & H \in \mathcal{P}_n, v \in R^n, \tau \in R^1 . \end{array}$$

## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Inscribed ellipsoid with fixed center

Let $Q$ be a convex polytope defined by a set of linear inequalities:
$$Q=\left{x \in R^n \mid\left\langle a_i, x\right\rangle \leq b_i, i=1 \ldots m\right}$$
and let $v \in \operatorname{int} Q$. Find an ellipsoid $W$, centered at $v$, such that $W \subset Q$ and which volume is as big as possible.

Let us fix some $H \in \operatorname{int} \mathcal{P}n$. We can represent the ellipsoid $W$ as $$W=\left{x \in R^n \mid\left\langle H^{-1}(x-v), x-v\right\rangle \leq 1\right}$$ We need the following simple result. LEMMA 4.3.8 Let \langle a, v\rangle{x \in W}\langle a, x\rangle & =\max _{x \in W}[\langle a, x-v\rangle+\langle a, v\rangle] \ & =\langle a, v\rangle+\max _x\left{\langle a, u\rangle \mid\left\langle H^{-1} u, u\right\rangle \leq 1\right} \ & =\langle a, v\rangle+\langle H a, a\rangle^{1 / 2} \leq b . \end{aligned} $$This proves our statement since \langle a, v\rangle<b. ## 凸优化代写 ## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Circumscribed ellipsoid 给定R^n中的一组点a_1， \ldots, a_m \，找到一个椭球W，它包含所有点\左{a_i\右}，并且体积尽可能小。 让我们以正式的方式提出这个问题。首先注意，任何有界椭球W \子集R^n都可以表示为 ＄ W = \离开{x \ R ^ n \中期x = H ^ {1} (v + u) | | \ u leq 1 }, ＄ 其中H \in \operatorname{int} \mathcal{P}_n和v \in R^n。那么在W中包含a \等价于不等式|H a-v| \leq 1。还要注意的是 ＄ \operatorname{vol}_n W=\operatorname{vol}_n B_2(0,1) \cdot \operatorname{det} H^{-1}=\frac{\operatorname{vol}_n B_2(0,1)}{\operatorname{det} H}。 ＄ 因此，我们的问题如下:$$ \begin{array}{ll} & \min _{H, v, \tau} \tau, \ \text { s.t. } & -\ln \operatorname{det} H \leq \tau, \ & \left|H a_i-v\right| \leq 1, i=1 \ldots m, \ & H \in \mathcal{P}_n, v \in R^n, \tau \in R^1 . \end{array} $$## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Inscribed ellipsoid with fixed center 设Q是由一组线性不等式定义的凸多面体: ＄ Q=\left{x \in R^n \mid\left\langle a_i, x\right\rangle \leq b_i, i=1 \ldots m\right} ＄ 并让v \in \operatorname{int} Q。找到一个以v为中心的椭球W，使W \子集Q，且体积尽可能大。 让我们在\operatorname{int} \mathcal{P}n中固定一些H。我们可以将椭球体W表示为$$ W=\left{x \in R^n \mid\left\langle H^{-1}(x-v)， x-v\right\rangle \leq 1\right}$我们需要以下简单的结果。让$\langle a, v\rangle{x \in W}\langle a, x\rangle & =\max _{x \in W}[\langle a, x-v\rangle+\langle a, v\rangle
& =\langle a, v\rangle+\max _x\left{\langle a, u\rangle \mid\left\langle H^{-1} u, u\right\rangle \leq 1\right} \
& =\角a, v\角+\角H a, a\角^{1 / 2}\leq b。

＄$这证明了我们的命题，自从$\ rangle a, v\rangle<b\$。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。