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数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Determining the inverse matrix

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数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Determining the inverse matrix

Any two statements out of four in the above Theorem (1.35) are equivalent. That is, (a) $\Rightarrow$ (b) and (b) $\Rightarrow$ (a), which is normally written as (a) $\Leftrightarrow$ (b).

By the above Theorem (1.35), we also have (a) $\Leftrightarrow$ (c) which means that the ( $n$ by $n$ ) matrix $\mathbf{A}$ is invertible $\Leftrightarrow \mathbf{A}$ is row equivalent to the identity matrix $\mathbf{I}$. There are elementary matrices $\mathbf{E}1, \mathbf{E}_2, \mathbf{E}_3, \ldots$ and $\mathbf{E}_k$ such that $$\mathbf{I}=\mathbf{E}_k \mathbf{E}{k-1} \cdots \mathbf{E}2 \mathbf{E}_1 \mathbf{A}$$ Right multiplying both sides of $\left(^*\right)$ by $\mathbf{A}^{-1}$ gives \begin{aligned} & \underbrace{\mathbf{I A}^{-1}}{=\mathbf{A}^{-1}}=\mathbf{E}k \mathbf{E}{k-1} \cdots \mathbf{E}2 \mathbf{E}_1 \underbrace{\mathbf{A A}^{-1}}{=\mathbf{I}} \ & \mathbf{A}^{-1}=\mathbf{E}k \mathbf{E}{k-1} \cdots \mathbf{E}2 \mathbf{E}_1 \mathbf{I} \end{aligned} Hence from $\mathbf{I}=\mathbf{E}_k \mathbf{E}{k-1} \cdots \mathbf{E}2 \mathbf{E}_1 \mathbf{A}$ we deduced that $\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{E}_k \mathbf{E}{k-1} \cdots \mathbf{E}_2 \mathbf{E}_1 \mathbf{I}$.

What does this mean?
It means that the same elementary matrices $\mathbf{E}_1, \mathbf{E}_2, \mathbf{E}_3, \ldots$ and $\mathbf{E}_k$ transform the identity matrix $\mathbf{I}$ into the invertible matrix $\mathbf{A}^{-1}$. This actually implies that we have to perform the same row operations that transform the matrix $\mathbf{A}$ to the identity matrix $\mathbf{I}$ and also transform $\mathbf{I}$ to the inverse matrix $\mathbf{A}^{-1}$. Summarizing this:
$$(\mathbf{A} \mid \mathbf{I}) \times \mathbf{A}^{-1}=\left(\mathbf{I} \mid \mathbf{A}^{-1}\right)$$
This means that we convert (A|I) to $\left(\mathbf{I} \mid \mathbf{A}^{-1}\right)$. Hence the row operations that transform matrix $\mathbf{A}$ into $\mathbf{I}$, also transform $\mathbf{I}$ into $\mathbf{A}^{-1}$.

数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Solving linear equations

Consider a general linear system which is written in matrix form as
$$\mathbf{A x}=\mathbf{b} \quad[\mathbf{A} \text { is invertible }]$$
Multiplying this by the inverse matrix $\mathbf{A}^{-1}$ gives
\begin{aligned} \underbrace{\mathbf{A}^{-1} \mathbf{A}}_{=\text {I }} \mathbf{x} & =\mathbf{A}^{-1} \mathbf{b} \ \mathbf{I x} & =\mathbf{A}^{-1} \mathbf{b} \text { implies } \mathbf{x}=\mathbf{A}^{-1} \mathbf{b} \quad[\text { because } \mathbf{I x}=\mathbf{x}] \end{aligned}
Hence the solution of a linear system $\mathbf{A x}=\mathbf{b}$ where $\mathbf{A}$ is invertible is given by
$$\mathbf{x}=\mathbf{A}^{-1} \mathbf{b}$$
This is why we need to determine the inverse matrix $\mathbf{A}^{-1}$. The next example demonstrates how this works for particular linear systems of equations.

数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Determining the inverse matrix

$$(\mathbf{A} \mid \mathbf{I}) \times \mathbf{A}^{-1}=\left(\mathbf{I} \mid \mathbf{A}^{-1}\right)$$

数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Solving linear equations

$$\mathbf{A x}=\mathbf{b} \quad[\mathbf{A} \text { is invertible }]$$

\begin{aligned} \underbrace{\mathbf{A}^{-1} \mathbf{A}}_{=\text {I }} \mathbf{x} & =\mathbf{A}^{-1} \mathbf{b} \ \mathbf{I x} & =\mathbf{A}^{-1} \mathbf{b} \text { implies } \mathbf{x}=\mathbf{A}^{-1} \mathbf{b} \quad[\text { because } \mathbf{I x}=\mathbf{x}] \end{aligned}

$$\mathbf{x}=\mathbf{A}^{-1} \mathbf{b}$$

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。