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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|ISOMORPHISM THEOREMS AND SOLVABLE GROUPS

如果你也在 怎样代写现代代数Modern Algebra 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。现代代数Modern Algebra现代代数,也叫抽象代数,是数学的一个分支,涉及各种集合(如实数、复数、矩阵和矢量空间)的一般代数结构,而不是操作其个别元素的规则和程序。除了数论和代数几何的发展,现代代数通过群论对对称性有重要的应用。群这个词通常指的是一组运算,可能保留了某些物体的对称性或类似物体的排列。

现代代数Modern Algebra代数是数学的一个分支的名称,但它也是一种数学结构的名称。代数或代数结构是一个带有运算的非空集合。从一般结构角度研究代数的数学分支被称为普遍代数。相比之下,现代代数处理的是特殊类别的代数,包括群、环、场、向量空间和模块。从普遍代数的角度来看,场、向量空间和模块不被视为代数结构。现代代数也被称为抽象代数,但这两个名字在今天都有误导性,因为它在现代数学中已经不怎么现代或抽象了。

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The following two isomorphism theorems are fundamental in the study of groups.
Theorem 54.1 (First Isomorphism Theorem). Assume that $H$ and $K$ are subgroups of $a$ group $G$, with $K \triangleleft G$. Then $H K$ is a subgroup of $G, K \triangleleft H K$, and
$$
\frac{H}{H \cap K} \approx \frac{H K}{K}
$$
PROOF. We shall use Theorem 7.1 to verify that $H K$ is a subgroup. [If neither $H$ nor $K$ is normal in $G$, then $H K$ might not be a subgroup. For example, $\left\langle\left(\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right)\right\rangle\left\langle\left(\begin{array}{ll}1 & 3\end{array}\right)\right\rangle$ is not a subgroup of $S_3$.]

Assume $h, h_1, h_2 \in H$ and $k, k_1, k_2 \in K$. Clearly $e \in H K$. And $h_2^{-1} k_1 h_2 \in K$ because $K \triangleleft G$, so
$$
h_1 k_1 h_2 k_2=h_1 h_2\left(h_2^{-1} k_1 h_2\right) k_2 \in H K
$$
Finally, if $h k \in H K$, then
$$
(h k)^{-1}=k^{-1} h^{-1}=h^{-1} h k^{-1} h^{-1}=h^{-1}\left(h k^{-1} h^{-1}\right) \in H K
$$
because $K \triangleleft G$. Thus $H K$ is a subgroup.
Obviously, $K \triangleleft H K$ because $K \triangleleft G$, so $H K / K$ is a group. Define $\theta: H \rightarrow H K / K$ by $\theta(h)=h K$ for each $h \in H$. Problem 54.1 asks you to verify that $\theta$ is a homomorphism of $H$ onto $H K / K$, and that $\operatorname{Ker} \theta=H \cap K$. The theorem now follows from the Fundamental Homomorphism Theorem.

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In Section 7, an element of $S_n$ was defined to be even or odd depending on whether it can be written as a product of an even or an odd number of transpositions, respectively. However, it was not proved that the terms even and odd are well defined for permutations. Following is a proof. All permutations are assumed to be elements of $S_n$. Familiarity with Section 6 is assumed.

Each element of $S_n$ can be written as a product of disjoint cycles. And each $k$-cycle can be written as a product of $k-1$ transpositions:
$$
\text { for } k \geq 2,\left(a_1 a_2 \ldots a_k\right)=\left(a_1 a_k\right) \ldots\left(a_1 a_3\right)\left(a_1 a_2\right) \text {. }
$$
Let $N$ denote the mapping from $S_n$ to the set of non-negative integers defined by
$$
\begin{aligned}
& N((1))=0, \
& N\left(\left(a_1 a_2 \ldots a_k\right)\right)=k-1, \text { for } k \geq 2,
\end{aligned}
$$
and, if $\alpha$ is a product of $m$ mutually disjoint cycles $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$ of lengths $k_1, k_2, \ldots, k_m$, respectively, then
$$
N(\alpha)=\sum_{i=1}^m N\left(\alpha_i\right)=\sum_{i=1}^m\left(k_i-1\right) .
$$
We shall prove that in any factorization of $\alpha$ as a product of transpositions, the number of factors will be even iff $N(\alpha)$ is even; therefore, it also will be odd iff $N(\alpha)$ is odd.

We need the following two observations. (Remember that in this book permutations are composed from right to left.)
$$
\begin{aligned}
& \left(a c_1 \ldots c_r b d_1 \ldots d_s\right)(a b)=\left(\begin{array}{llll}
a d_1 & \ldots & \left.d_s\right)\left(b c_1 \ldots c_r\right.
\end{array}\right) \
& \left(a c_1 \ldots c_r\right)\left(b d_1 \ldots d_s\right)(a b)=\left(a d_1 \ldots d_s b c_1 \ldots c_r\right)
\end{aligned}
$$
Therefore, if $a$ and $b$ belong to the same cycle in the cyclic decompositions of $\alpha$, then $N(\alpha(a b))=N(\alpha)-1$, and if $a$ and $b$ belong to different cycles in the cyclic decomposition of $\alpha$, then $N(\alpha(a b))=N(\alpha)+1$. In either case,
$$
N(\alpha(a b)) \equiv N(\alpha)+1(\bmod 2) .
$$

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现代代数代写

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下面两个同构定理是研究群的基本定理。
定理54.1(第一同构定理)。假设$H$和$K$是$a$组$G$的子组,其中包含$K \triangleleft G$。那么$H K$是$G, K \triangleleft H K$的子组,和
$$
\frac{H}{H \cap K} \approx \frac{H K}{K}
$$
证明。我们将使用定理7.1来验证$H K$是一个子组。如果$G$中$H$和$K$都不正常,那么$H K$可能不是子组。例如,$\left\langle\left(\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right)\right\rangle\left\langle\left(\begin{array}{ll}1 & 3\end{array}\right)\right\rangle$不是$S_3$的子组。]

假设为$h, h_1, h_2 \in H$和$k, k_1, k_2 \in K$。显然是$e \in H K$。$h_2^{-1} k_1 h_2 \in K$因为$K \triangleleft G$,所以
$$
h_1 k_1 h_2 k_2=h_1 h_2\left(h_2^{-1} k_1 h_2\right) k_2 \in H K
$$
最后,如果$h k \in H K$,那么
$$
(h k)^{-1}=k^{-1} h^{-1}=h^{-1} h k^{-1} h^{-1}=h^{-1}\left(h k^{-1} h^{-1}\right) \in H K
$$
因为$K \triangleleft G$。因此$H K$是一个子组。
显然,$K \triangleleft H K$因为$K \triangleleft G$,所以$H K / K$是一个组。通过$\theta(h)=h K$为每个$h \in H$定义$\theta: H \rightarrow H K / K$。问题54.1要求验证$\theta$是$H$到$H K / K$的同态,并且$\operatorname{Ker} \theta=H \cap K$。这个定理是从基本同态定理推导出来的。

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在第7节中,$S_n$的元素被定义为偶数或奇数,取决于它是否可以分别写成偶数或奇数调换的乘积。然而,并没有证明偶数和奇数对于排列是有很好的定义的。下面是一个证明。假设所有排列都是$S_n$的元素。假设熟悉第6节。

$S_n$的每个元素都可以写成不相交循环的乘积。每个$k$ -循环可以写成$k-1$换位的乘积:
$$
\text { for } k \geq 2,\left(a_1 a_2 \ldots a_k\right)=\left(a_1 a_k\right) \ldots\left(a_1 a_3\right)\left(a_1 a_2\right) \text {. }
$$
设$N$表示从$S_n$到定义的非负整数集的映射
$$
\begin{aligned}
& N((1))=0, \
& N\left(\left(a_1 a_2 \ldots a_k\right)\right)=k-1, \text { for } k \geq 2,
\end{aligned}
$$
如果$\alpha$是长度分别为$k_1, k_2, \ldots, k_m$的$m$互不相交的环$\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$的乘积,则
$$
N(\alpha)=\sum_{i=1}^m N\left(\alpha_i\right)=\sum_{i=1}^m\left(k_i-1\right) .
$$
我们将证明在将$\alpha$分解为换位乘积时,如果$N(\alpha)$是偶数,则因子的数目将是偶数;因此,如果$N(\alpha)$是奇数,它也是奇数。

我们需要以下两点观察。(请记住,在这本书中,排列是从右到左排列的。)
$$
\begin{aligned}
& \left(a c_1 \ldots c_r b d_1 \ldots d_s\right)(a b)=\left(\begin{array}{llll}
a d_1 & \ldots & \left.d_s\right)\left(b c_1 \ldots c_r\right.
\end{array}\right) \
& \left(a c_1 \ldots c_r\right)\left(b d_1 \ldots d_s\right)(a b)=\left(a d_1 \ldots d_s b c_1 \ldots c_r\right)
\end{aligned}
$$
因此,如果$a$和$b$在$\alpha$的循环分解中属于同一循环,则$N(\alpha(a b))=N(\alpha)-1$,如果$a$和$b$在$\alpha$的循环分解中属于不同循环,则$N(\alpha(a b))=N(\alpha)+1$。无论哪种情况,
$$
N(\alpha(a b)) \equiv N(\alpha)+1(\bmod 2) .
$$

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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