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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|SEPARABILITY AND NORMALITY

如果你也在 怎样代写现代代数Modern Algebra 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。现代代数Modern Algebra现代代数,也叫抽象代数,是数学的一个分支,涉及各种集合(如实数、复数、矩阵和矢量空间)的一般代数结构,而不是操作其个别元素的规则和程序。除了数论和代数几何的发展,现代代数通过群论对对称性有重要的应用。群这个词通常指的是一组运算,可能保留了某些物体的对称性或类似物体的排列。

现代代数Modern Algebra代数是数学的一个分支的名称,但它也是一种数学结构的名称。代数或代数结构是一个带有运算的非空集合。从一般结构角度研究代数的数学分支被称为普遍代数。相比之下,现代代数处理的是特殊类别的代数,包括群、环、场、向量空间和模块。从普遍代数的角度来看,场、向量空间和模块不被视为代数结构。现代代数也被称为抽象代数,但这两个名字在今天都有误导性,因为它在现代数学中已经不怎么现代或抽象了。

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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|SEPARABILITY AND NORMALITY

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|SEPARABILITY AND NORMALITY

Recall from Section 46 that any polynomial $p(x)$ over a field $F$ has a splitting field over $F$, and any two splitting fields of $p(x)$ over $F$ are isomorphic. A polynomial of degree $n$ will have $n$ roots in a splitting field, but these $n$ roots need not be distinct (Problem 46.5). In Galois theory, irreducible polynomials create special problems if they have a repeated root in a splitting field. For this reason, we need the following definitions.

Definitions. A polynomial $p(x)$ of degree $n$ over a field $F$ is separable over $F$ if it has $n$ distinct roots in a splitting field $K$ over $F$. If $p(x)$ is not separable, it is inseparable. An algebraic element in an extension $K$ of $F$ is separable over $F$ if its minimum polynomial is separable over $F$. An algebraic extension $K$ of $F$ is a separable extension if every element of $K$ is separable over $F$.

The following theorem makes use of formal derivatives, which were introduced in Problem 34.13.

Theorem 47.1. A polynomial $p(x)$ over a field $F$ is separable over $F$ iff $p(x)$ and its formal derivative $p^{\prime}(x)$ are relatively prime in $K[x]$, where $K$ is a splitting field of $p(x)$; that is, iff they have no common factor of positive degree in $K[x]$.

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|FUNDAMENTAL THEOREM OF GALOIS THEORY

Theorem 48.1 (Fundamental Theorem of Galois Theory). Assume that $E$ is a finite, separable, normal extension of a field $F$. Consider the correspondence defined by
$$
K \rightarrow \operatorname{Gal}(E / K)
$$
for each subfield $K$ of $E$ such that $K$ contains $F$. The correspondence (48.1) is one-to-one between the set of all subfields of $E$ that contain $F$ and the set of all subgroups of $\operatorname{Gal}(E / F)$. Moreover for each such $K$,
$$
\begin{gathered}
{[E: K]=|\operatorname{Gal}(E / K)|,} \
K=E_H \quad \text { for } \quad H=\operatorname{Gal}(E / K),
\end{gathered}
$$
and $K$ is normal over $F$ iff $\mathrm{Gal}(E / K)$ is a normal subgroup of $\operatorname{Gal}(E / F)$, in which case $\operatorname{Gal}(K / F) \approx \operatorname{Gal}(E / F) / \mathrm{Gal}(E / K)$.

PROOF. By Theorem 47.6 , the finite normal extension $E$ of $F$ is a splitting field of a polynomial $p(x)$ over $F$. If $F \subseteq K \subseteq E$, then $E$ is a splitting field of $p(x)$ over $K$. Also, $E$ is separable over $K$ by Theorem 47.3. Therefore, $[E: K]=|\mathrm{Gal}(E / K)|$ by Theorem 47.4, proving (48.2). By Theorem 47.5, if $H=\operatorname{Gal}(E / K)$ then $K=E_H$, proving (48.3).

We next prove that the correspondence in (48.1) is one-to-one and onto. To prove it is one-to-one, assume $K_1$ and $K_2$ intermediate subfields of $E$ and $F$, with $K_1 \neq K_2$. Then one of the subfields contains an element not in the other; assume $a \in K_1$ and $a \notin K_2$. If $G=\operatorname{Gal}\left(E / K_2\right)$, then $E_G=K_2$ by Theorem 47.5 , so there exists $\sigma \in G$ such that $\sigma(a) \neq a$. Thus $\sigma \notin \operatorname{Gal}\left(E / K_1\right)$ and $\operatorname{Gal}\left(E / K_1\right) \neq \operatorname{Gal}\left(E / K_2\right)$. Therefore the correspondence in (48.1) is one-to-one.

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|SEPARABILITY AND NORMALITY

现代代数代写

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|SEPARABILITY AND NORMALITY

回顾第46节,在一个字段$F$上的任何多项式$p(x)$在$F$上都有一个分裂域,并且$p(x)$在$F$上的任何两个分裂域都是同构的。次为$n$的多项式在分裂域中有$n$根,但这些$n$根不必是不同的(问题46.5)。在伽罗瓦理论中,不可约多项式如果在分裂域中有一个重复的根,就会产生特殊的问题。出于这个原因,我们需要以下定义。

定义。多项式 $p(x)$ 程度 $n$ 越过田野 $F$ 是可分的 $F$ 如果有的话 $n$ 分裂场中不同的根 $K$ 结束 $F$. 如果 $p(x)$ 是不可分离的,是不可分离的。扩展中的代数元素 $K$ 的 $F$ 是可分的 $F$ 如果它的最小多项式是可分离的 $F$. 代数扩展 $K$ 的 $F$ 的每个元素都是可分扩展吗 $K$ 是可分的 $F$.

下面的定理使用了形式导数,在习题34.13中介绍过。

定理47.1。域$F$上的多项式$p(x)$在$F$ iff $p(x)$上是可分离的,它的形式导数$p^{\prime}(x)$在$K[x]$上是相对素数的,其中$K$是$p(x)$的分裂域;也就是说,如果它们在$K[x]$中没有正的公因数。

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|FUNDAMENTAL THEOREM OF GALOIS THEORY

定理48.1(伽罗瓦理论基本定理)。假设$E$是域$F$的有限的、可分离的、正规的扩展。定义的对应关系
$$
K \rightarrow \operatorname{Gal}(E / K)
$$
对于$E$的每个子字段$K$,使得$K$包含$F$。包含$F$的$E$的所有子字段的集合与$\operatorname{Gal}(E / F)$的所有子组的集合之间的对应关系(48.1)是一对一的。此外,对于每一个$K$,
$$
\begin{gathered}
{[E: K]=|\operatorname{Gal}(E / K)|,} \
K=E_H \quad \text { for } \quad H=\operatorname{Gal}(E / K),
\end{gathered}
$$
$K$比$F$正常,如果$\mathrm{Gal}(E / K)$是$\operatorname{Gal}(E / F)$的正常子组,在这种情况下$\operatorname{Gal}(K / F) \approx \operatorname{Gal}(E / F) / \mathrm{Gal}(E / K)$。

证明。根据定理47.6,$F$的有限法向扩展$E$是一个多项式$p(x)$ / $F$的分裂域。如果是$F \subseteq K \subseteq E$,那么$E$是$p(x)$ / $K$的分割字段。同样,根据定理47.3,$E$与$K$是可分离的。因此,$[E: K]=|\mathrm{Gal}(E / K)|$由定理47.4,证明(48.2)。由47.5定理,如果$H=\operatorname{Gal}(E / K)$则$K=E_H$,证明(48.3)。

然后证明式(48.1)中的对应关系是一对一的,并且是映上的。为了证明它是一对一的,假设$E$和$F$的中间子字段为$K_1$和$K_2$,并使用$K_1 \neq K_2$。然后其中一个子字段包含另一个子字段中没有的元素;假设为$a \in K_1$和$a \notin K_2$。如果$G=\operatorname{Gal}\left(E / K_2\right)$,那么根据47.5定理$E_G=K_2$,那么存在$\sigma \in G$使得$\sigma(a) \neq a$。因此$\sigma \notin \operatorname{Gal}\left(E / K_1\right)$和$\operatorname{Gal}\left(E / K_1\right) \neq \operatorname{Gal}\left(E / K_2\right)$。因此(48.1)中的对应关系是一对一的。

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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