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数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Equality constraints

如果你也在 怎样代写常微分方程Ordinary Differential Equations 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。常微分方程Ordinary Differential Equations在数学中,常微分方程(ODE)是包含一个或多个独立变量的函数以及这些函数的导数的微分方程。术语普通是与术语偏微分方程相对应的,后者可能涉及一个以上的独立变量。

常微分方程Ordinary Differential Equations在常微分方程中,线性微分方程起着突出的作用,原因有几个。在物理学和应用数学中遇到的大多数基本函数和特殊函数都是线性微分方程的解(见整体函数)。当用非线性方程对物理现象进行建模时,一般用线性微分方程来近似,以便于求解。少数可以显式求解的非线性ODE,一般是通过将方程转化为等效的线性ODE来解决的(见,例如Riccati方程)。

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数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Equality constraints

数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Equality constraints

Consider the problem of minimising the following functional
$$
J(y)=\int_a^b \ell\left(x, y(x), y^{\prime}(x)\right) d x
$$
in the set given by
$$
V=\left{v \in C^1([a, b]): v(a)=y_a, v(b)=y_b ; K(v)=c\right}
$$
where $K: C^1([a, b]) \rightarrow \mathbb{R}$ is given by
$$
K(y)=\int_a^b \varphi\left(x, y(x), y^{\prime}(x)\right) d x
$$
The equation $K(y)=c$, with $c$ a given constant, defines a global equality constraint for $y$, and (9.33)-(9.35) defines a constrained optimisation problem.
Now, assume that $\ell, \varphi \in C^2$ in all their arguments. If $y \in V$ is a weak local minimiser of the constrained optimisation problem, and the Fréchet derivative $\partial K$ has a continuous inverse in a neighbourhood of $y$; in the present case, $\partial K(y) \neq 0$, then there exists a $\lambda \in \mathbb{R}$ such that the following EL equations are satisfied. We have
$$
\frac{\partial}{\partial y}(\ell+\lambda \varphi)\left(x, y, y^{\prime}\right)-\frac{d}{d x} \frac{\partial}{\partial y^{\prime}}(\ell+\lambda \varphi)=0, \quad x \in[a, b]
$$
The condition $\partial K(y) \neq 0$ means that $y$ is not an extremal of (9.35). In fact, consider a variation $y+\alpha \eta$, where $\eta \in W$. This variation should preserve the constraint, and hence considering the first variation of $K$ we require
$$
\delta K(y ; \eta)=0
$$
This means that
$$
\int_a^b\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y}-\frac{d}{d x} \frac{\partial \varphi}{\partial y^{\prime}}\right) \eta d x=0
$$

数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|The Legendre condition

The EL equation, with the appropriate boundary conditions, represents the first-order optimality condition for a minimiser of $J$ in $V$. However, in order to characterise an extremal solution as the minimum sought, we need to consider second-order optimality conditions. For this purpose, we focus on the problem of the calculus of variation given by (9.15)-(9.16), that is, the following optimisation problem
$$
\min {y \in V} J(y):=\int_a^b \ell\left(x, y(x), y^{\prime}(x)\right) d x $$ where $$ V=\left{v \in C^1([a, b]): v(a)=y_a, v(b)=y_b\right} $$ Now, we compute the second variation of $J$ in $V$, assuming that $\ell \in C^2$. Recall that the second variation is given by $\delta^2 J(y ; h)=\left.\frac{d^2}{d t^2} J(y+t h)\right|{t=0}$. We have
$$
\begin{aligned}
\delta^2 J(y ; h) & =\int_a^b\left{\frac{\partial^2 \ell}{\partial y^{\prime 2}}\left(x, y, y^{\prime}\right)\left(h^{\prime}\right)^2+2 \frac{\partial^2 \ell}{\partial y \partial y^{\prime}}\left(x, y, y^{\prime}\right) h h^{\prime}\right. \
& \left.+\frac{\partial^2 \ell}{\partial y^2}\left(x, y, y^{\prime}\right) h^2\right} d x
\end{aligned}
$$
As discussed above, the necessary optimality conditions for $y \in V$ to be a weak local minimiser are given by $(\nabla J(y), h)=0, h \in W$, and the following second-order condition:
$$
\left(\nabla^2 J(y) h, h\right) \geq 0, \quad h \in W
$$
Next, we discuss this condition for our specific problem (9.39)-(9.40). We have the following theorem.

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常微分方程代写

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考虑最小化以下函数的问题
$$
J(y)=\int_a^b \ell\left(x, y(x), y^{\prime}(x)\right) d x
$$
在给定的集合中
$$
V=\left{v \in C^1([a, b]): v(a)=y_a, v(b)=y_b ; K(v)=c\right}
$$
$K: C^1([a, b]) \rightarrow \mathbb{R}$是由谁给出的
$$
K(y)=\int_a^b \varphi\left(x, y(x), y^{\prime}(x)\right) d x
$$
方程$K(y)=c$ ($c$为给定常数)定义了$y$的全局等式约束,(9.33)-(9.35)定义了约束优化问题。
现在,假设他们所有的论点中都有$\ell, \varphi \in C^2$。如果$y \in V$是约束优化问题的弱局部极小值,且fr导数$\partial K$在$y$的邻域中具有连续逆;在这种情况下,$\partial K(y) \neq 0$,则存在一个$\lambda \in \mathbb{R}$,使得下列EL方程满足。我们有
$$
\frac{\partial}{\partial y}(\ell+\lambda \varphi)\left(x, y, y^{\prime}\right)-\frac{d}{d x} \frac{\partial}{\partial y^{\prime}}(\ell+\lambda \varphi)=0, \quad x \in[a, b]
$$
条件$\partial K(y) \neq 0$意味着$y$不是(9.35)的极值。实际上,考虑一个变体$y+\alpha \eta$,其中$\eta \in W$。这种变化应该保留约束,因此考虑我们需要的$K$的第一个变化
$$
\delta K(y ; \eta)=0
$$
这意味着
$$
\int_a^b\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y}-\frac{d}{d x} \frac{\partial \varphi}{\partial y^{\prime}}\right) \eta d x=0
$$

数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|The Legendre condition

具有适当边界条件的EL方程表示$V$中$J$最小值的一阶最优性条件。然而,为了将极值解描述为最小值,我们需要考虑二阶最优性条件。为此,我们将重点放在(9.15)-(9.16)给出的变分演算问题上,即下面的优化问题
$$
\min {y \in V} J(y):=\int_a^b \ell\left(x, y(x), y^{\prime}(x)\right) d x $$其中$$ V=\left{v \in C^1([a, b]): v(a)=y_a, v(b)=y_b\right} $$现在,我们计算$V$中$J$的第二种变化,假设$\ell \in C^2$。回想一下,第二个变体由$\delta^2 J(y ; h)=\left.\frac{d^2}{d t^2} J(y+t h)\right|{t=0}$给出。我们有
$$
\begin{aligned}
\delta^2 J(y ; h) & =\int_a^b\left{\frac{\partial^2 \ell}{\partial y^{\prime 2}}\left(x, y, y^{\prime}\right)\left(h^{\prime}\right)^2+2 \frac{\partial^2 \ell}{\partial y \partial y^{\prime}}\left(x, y, y^{\prime}\right) h h^{\prime}\right. \
& \left.+\frac{\partial^2 \ell}{\partial y^2}\left(x, y, y^{\prime}\right) h^2\right} d x
\end{aligned}
$$
如上所述,$(\nabla J(y), h)=0, h \in W$给出了$y \in V$是弱局部最小值的必要最优性条件,并给出了以下二阶条件:
$$
\left(\nabla^2 J(y) h, h\right) \geq 0, \quad h \in W
$$
接下来,我们讨论我们的具体问题(9.39)-(9.40)的这个条件。我们有下面的定理。

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微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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