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数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Optimality conditions

如果你也在 怎样代写常微分方程Ordinary Differential Equations 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。常微分方程Ordinary Differential Equations在数学中,常微分方程(ODE)是包含一个或多个独立变量的函数以及这些函数的导数的微分方程。术语普通是与术语偏微分方程相对应的,后者可能涉及一个以上的独立变量。

常微分方程Ordinary Differential Equations在常微分方程中,线性微分方程起着突出的作用,原因有几个。在物理学和应用数学中遇到的大多数基本函数和特殊函数都是线性微分方程的解(见整体函数)。当用非线性方程对物理现象进行建模时,一般用线性微分方程来近似,以便于求解。少数可以显式求解的非线性ODE,一般是通过将方程转化为等效的线性ODE来解决的(见,例如Riccati方程)。

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数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Optimality conditions

数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Optimality conditions

Once existence of a minimiser in $V$ is established, one can consider its characterisation based on derivatives of the functional $J: V \rightarrow \mathbb{R}, V$ subset of $B$.
In the following, we illustrate different concepts of derivatives in functional spaces. For this purpose, let us denote with $\mathscr{L}(B, \mathbb{R})$ the Banach space of all bounded linear functionals $\mathcal{A}: B \rightarrow \mathbb{R}$.
Definition 9.3 The functional $J$ is said to be Fréchet differentiable at $y \in V$ if there exists an operator $\mathcal{A}y \in \mathscr{L}(B, \mathbb{R})$ such that $$ \lim {z \rightarrow y} \frac{J(z)-J(y)-\mathcal{A}_y(z-y)}{|z-y|}=0 .
$$
This generalisation of the concept of the derivative is named after Maurice René Fréchet.
We have the following equivalent properties [4].
( $\alpha$ ) The functional $J$ is Fréchet differentiable with respect to $y$.
( $\beta$ ) There exists $\mathcal{A}_y \in \mathscr{L}(B, \mathbb{R})$, and the real-valued functional $r_y: V \rightarrow \mathbb{R}$, where $r_y$ is continuous in $y$ and $r_y(y)=0$, such that the following holds:
$$
J(z)=J(y)+\mathcal{A}_y(z-y)+r_y(y)|z-y|, \quad z \in V .
$$
$(\gamma)$ There exists $\mathcal{A}_y \in \mathscr{L}(B, \mathbb{R})$ with
$$
J(z)=J(y)+\mathcal{A}_y(z-y)+o(|y-z|),
$$
where $o$ represents the “small” Landau symbol.
Notice that the operator $\mathcal{A}_y$ is uniquely determined. It is called the Fréchet derivative of $J$, and we denote it with $\partial J(y)$. Further, if $J$ is Fréchet differentiable in $y$, so it is continuous in $y$.
The Fréchet derivative allows to construct an approximation to $J$ at $\bar{y} \in V$ in the following sense. Define
$$
g: B \rightarrow \mathbb{R}, \quad y \mapsto J(\bar{y})+\partial J(\bar{y})(y-\bar{y})
$$
Then it holds
$$
\lim {y \rightarrow \bar{y}} \frac{|J(y)-g(y)|}{|y-\bar{y}|}=0 . $$ Next, we consider the following one-sided limit: $$ \delta J(y ; h):=\lim {\alpha \rightarrow 0^{+}} \frac{J(y+\alpha h)-J(y)}{\alpha},
$$
for $y \in V, h \in B \backslash{0}$. If this limit exists, it is called the directional derivative or first (right) variation of $J$ in $y$ in the direction $h$. This concept of directional derivative in functional spaces was made mathematically rigorous thanks to the work of René Eugène Gâteaux.

数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|First-order optimality conditions

We discuss first-order necessary optimality conditions for a minimum.
Theorem 9.4 Let $V \subset B$ be a non-empty convex subset and suppose that $y \in V$ is a weak local minimiser of $J$ in $V$, and assume that $(9.9)$ holds. Then
$$
(\nabla J(y), v) \geq 0, \quad v \in T(V, y)
$$
Proof. Let $t_n, y_n$ be the sequence associated to $v \in T(V, y)$. Then, for $n$ sufficient large it holds
$$
\begin{aligned}
J(y) & \leq J\left(y_n\right)=J\left(y+\left(y_n-y\right)\right) \
& =J(y)+\left(\nabla J(y), y_n-y\right)+\eta\left(\left|y_n-y\right|_B\right)\left|y_n-y\right|_H
\end{aligned}
$$
Thus for $n$ sufficient large such that $t_n>1$, we have
$$
0 \leq\left(\nabla J(y), t_n\left(y_n-y\right)\right)+\eta\left(\left|y_n-y\right|_B\right)\left|t_n\left(y_n-y\right)\right|_H
$$
Taking the limit $n \rightarrow \infty,(9.10)$ is proved.
Notice that, if $V$ is an open subset of $B$, and $y \in V$ is a weak local minimiser of $J$ in $V$, then $(9.10)$ becomes
$$
\nabla J(y)=0
$$
A first-order sufficient condition for a minimum is given by the following theorem.

数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Optimality conditions

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Optimality conditions

一旦建立了$V$中最小值的存在性,就可以根据$B$的泛函$J: V \rightarrow \mathbb{R}, V$子集的导数来考虑它的表征。
下面,我们举例说明函数空间中导数的不同概念。为此,让我们用$\mathscr{L}(B, \mathbb{R})$表示所有有界线性泛函$\mathcal{A}: B \rightarrow \mathbb{R}$的巴拿赫空间。
定义9.3如果存在一个运算符$\mathcal{A}y \in \mathscr{L}(B, \mathbb{R})$使得$$ \lim {z \rightarrow y} \frac{J(z)-J(y)-\mathcal{A}_y(z-y)}{|z-y|}=0 .
$$,则称函数$J$在$y \in V$是fr切可微的
这种衍生概念的概括是以莫里斯·雷诺·弗拉西切特的名字命名的。
我们有以下等效性质[4]。
($\alpha$)函数$J$对于$y$是fr可微的。
($\beta$)存在$\mathcal{A}_y \in \mathscr{L}(B, \mathbb{R})$和实值泛函$r_y: V \rightarrow \mathbb{R}$,其中$r_y$在$y$和$r_y(y)=0$中连续,从而成立:
$$
J(z)=J(y)+\mathcal{A}_y(z-y)+r_y(y)|z-y|, \quad z \in V .
$$
$(\gamma)$存在$\mathcal{A}_y \in \mathscr{L}(B, \mathbb{R})$ with
$$
J(z)=J(y)+\mathcal{A}_y(z-y)+o(|y-z|),
$$
其中$o$代表“小”朗道符号。
注意,操作符$\mathcal{A}_y$是唯一确定的。它被称为$J$的fr导数,我们用$\partial J(y)$表示它。更进一步,如果$J$在$y$中是fr可微的,那么它在$y$中是连续的。
在以下意义上,fr衍生物允许在$\bar{y} \in V$构造$J$的近似值。定义
$$
g: B \rightarrow \mathbb{R}, \quad y \mapsto J(\bar{y})+\partial J(\bar{y})(y-\bar{y})
$$
然后保持不变
$$
\lim {y \rightarrow \bar{y}} \frac{|J(y)-g(y)|}{|y-\bar{y}|}=0 . $$接下来,我们考虑以下单侧极限:$$ \delta J(y ; h):=\lim {\alpha \rightarrow 0^{+}} \frac{J(y+\alpha h)-J(y)}{\alpha},
$$
浏览$y \in V, h \in B \backslash{0}$。如果这个极限存在,它被称为$y$在$h$方向上的方向导数或$J$的第一次(右)变化。函数空间中方向导数的概念在数学上是严格的,这要归功于ren eug g teaux的工作。

数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|First-order optimality conditions

讨论了最小值的一阶必要最优性条件。
定理9.4设$V \subset B$为非空凸子集,并设$y \in V$是$V$中$J$的弱局部极小值,并设$(9.9)$成立。然后
$$
(\nabla J(y), v) \geq 0, \quad v \in T(V, y)
$$
证明。设$t_n, y_n$为与$v \in T(V, y)$相关联的序列。然后,对于$n$足够大
$$
\begin{aligned}
J(y) & \leq J\left(y_n\right)=J\left(y+\left(y_n-y\right)\right) \
& =J(y)+\left(\nabla J(y), y_n-y\right)+\eta\left(\left|y_n-y\right|_B\right)\left|y_n-y\right|_H
\end{aligned}
$$
因此对于$n$足够大的$t_n>1$,我们有
$$
0 \leq\left(\nabla J(y), t_n\left(y_n-y\right)\right)+\eta\left(\left|y_n-y\right|_B\right)\left|t_n\left(y_n-y\right)\right|_H
$$
证明了取极限$n \rightarrow \infty,(9.10)$。
注意,如果$V$是$B$的开放子集,而$y \in V$是$V$中$J$的弱局部最小值,那么$(9.10)$变成
$$
\nabla J(y)=0
$$
最小值的一阶充分条件由下面的定理给出。

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微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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