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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Models on the unit disk

如果你也在 怎样代写黎曼曲面Riemann surface 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。黎曼曲面Riemann surface在数学中,特别是在复杂分析中,黎曼面是一个相连的一维复杂流形。这些曲面最早是由Bernhard Riemann研究的,并以其名字命名。黎曼曲面可以被认为是复平面的变形版本:在每一个点附近,它们看起来都像复平面的补丁,但全局的拓扑结构可能是完全不同的。例如,它们可以像一个球体、一个环状体或几个片状体粘在一起。

黎曼曲面Riemann surface的主要兴趣在于它们之间可以定义全形函数。如今,黎曼曲面被认为是研究这些函数的全局行为的自然环境,尤其是多值函数,如平方根和其他代数函数,或对数。每个黎曼面都是一个二维实分析流形(即表面),但它包含更多的结构(特别是复数结构),这是全形函数的明确定义所需要的。一个二维实流形可以变成一个黎曼曲面(通常有几种不对等的方式),当且仅当它是可定向的和可计量的。因此,球体和环形体允许复杂的结构,但莫比乌斯带、克莱因瓶和实投影平面不允许。

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The goal of this section is to prove that every $f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$ which is not superattracting elliptic admits a model in the sense of Definition 3.5.2. When $f$ is attracting elliptic, we know this already (Corollary 4.1.3); so we shall focus on hyperbolic and parabolic maps.

The idea is to apply Theorem 3.5.10; therefore, we must build a simply connected $f$-absorbing domain where $f$ is injective. To do so, we need a couple of lemmas that might be interesting on their own.

Lemma 4.5.1. Let $\Omega \subset \mathbb{C}$ be a convex domain and take $f \in \operatorname{Hol}(\Omega, \mathbb{C})$ such that $\operatorname{Re} f^{\prime} \geq 0$ on $\Omega$. Then $f$ is either constant or injective.

Proof. If there is $z_0 \in \Omega$ so that $\operatorname{Re} f^{\prime}\left(z_0\right)=0$, then by the minimum principle for harmonic functions $f^{\prime}$ is constant, and hence $f$ is either constant or injective. We henceforth can suppose that $\operatorname{Re} f^{\prime}>0$ everywhere.

Assume, by contradiction, that $f\left(z_1\right)=f\left(z_2\right)$ for two distinct points $z_1, z_2 \in \Omega$. Integrating along the segment $\sigma$ from $z_1$ to $z_2$, we obtain
$$
0=f\left(z_2\right)-f\left(z_1\right)=\int_\sigma f^{\prime}(\zeta) d \zeta=\left(z_2-z_1\right) \int_0^1 f^{\prime}\left(z_1+t\left(z_2-z_1\right)\right) d t
$$

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|The hyperbolic step

In the previous section, we saw that if $f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$ is not superattracting elliptic then it admits a model. A natural question is whether we can understand the model just by looking at the function $f$. The answer is essentially affirmative; to show how, we need a couple of definitions and preliminary results.

Definition 4.6.1. Let $X$ be a hyperbolic Riemann surface and take $f \in \operatorname{Hol}(X, X)$ and $z \in X$. For any $\mu \geq 1$ the Schwarz-Pick lemma implies that the sequence $\left{\omega_X\left(f^v(z), f^{v+\mu}(z)\right)\right}_{v \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^{+}$is decreasing, and hence it has a limit $s_\mu^f(z) \in \mathbb{R}^{+}$, that we shall call the hyperbolic $\mu$-step of $f$ at $z$. When the function $f$ is clear by the context we shall write $s_\mu$ instead of $s_\mu^f$. If $\mu=1$, we shall write $s^f(z)$ instead of $s_1^f(z)$ and we shall call $s^f(z)$ the hyperbolic step of $f$ at $z$. We shall say that $f$ has positive hyperbolic step if there exists $z_0 \in \mathbb{D}$ such that $s^f\left(z_0\right)>0$; otherwise, we say that $f$ has a zero hyperbolic step. If $X$ is an elliptic or parabolic Riemann surface, we shall put $s_\mu^f \equiv 0$ for all $\mu \geq 1$ and $f \in \operatorname{Hol}(X, X)$.

Remark 4.6.2. In the literature, parabolic maps with a positive hyperbolic step are sometimes called of simply parabolic type or of parabolic II type or of automorphic type. Analogously, parabolic maps with a zero hyperbolic step are sometimes called of doubly parabolic type or of parabolic I type or of nonautomorphic type.

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黎曼曲面代写

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本节的目的是证明每一个$f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$,它不是超吸引椭圆承认一个定义3.5.2意义上的模型。当$f$吸引椭圆时,我们已经知道这一点(推论4.1.3);因此,我们将重点关注双曲和抛物线图。

这个想法是应用定理3.5.10;因此,我们必须建立一个单连通的$f$吸收域,其中$f$是内射的。要做到这一点,我们需要一些引理,它们本身可能很有趣。

引理4.5.1。设$\Omega \subset \mathbb{C}$为凸域,取$f \in \operatorname{Hol}(\Omega, \mathbb{C})$使得$\operatorname{Re} f^{\prime} \geq 0$在$\Omega$上。那么$f$要么是常量,要么是单射。

证明。如果存在$z_0 \in \Omega$,那么$\operatorname{Re} f^{\prime}\left(z_0\right)=0$,那么根据调和函数的最小原则$f^{\prime}$是常数,因此$f$要么是常数要么是内射。从此我们可以假设$\operatorname{Re} f^{\prime}>0$到处都是。

根据矛盾,假设$f\left(z_1\right)=f\left(z_2\right)$对于两个不同的点$z_1, z_2 \in \Omega$。沿着$\sigma$从$z_1$到$z_2$的段积分,我们得到
$$
0=f\left(z_2\right)-f\left(z_1\right)=\int_\sigma f^{\prime}(\zeta) d \zeta=\left(z_2-z_1\right) \int_0^1 f^{\prime}\left(z_1+t\left(z_2-z_1\right)\right) d t
$$

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在上一节中,我们看到,如果$f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$不是超吸引椭圆,那么它承认一个模型。一个自然的问题是,我们是否可以仅仅通过观察$f$函数来理解这个模型。答案基本上是肯定的;为了说明这一点,我们需要一些定义和初步结果。

4.6.1.定义设$X$为双曲黎曼曲面取$f \in \operatorname{Hol}(X, X)$和$z \in X$。对于任何$\mu \geq 1$, Schwarz-Pick引理表明,序列$\left{\omega_X\left(f^v(z), f^{v+\mu}(z)\right)\right}{v \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^{+}$是递减的,因此它有一个极限$s\mu^f(z) \in \mathbb{R}^{+}$,我们称之为$f$在$z$的双曲$\mu$ -步。当上下文明确了$f$函数时,我们应该写$s_\mu$而不是$s_\mu^f$。如果是$\mu=1$,我们将写成$s^f(z)$而不是$s_1^f(z)$,我们将称$s^f(z)$为$z$的$f$的双曲步。我们说$f$有正双曲阶跃如果存在$z_0 \in \mathbb{D}$使得$s^f\left(z_0\right)>0$;否则,我们说$f$的双曲步长为零。如果$X$是椭圆型或抛物线型黎曼曲面,我们将把$s_\mu^f \equiv 0$代入所有的$\mu \geq 1$和$f \in \operatorname{Hol}(X, X)$。

4.6.2。在文献中,具有正双曲阶跃的抛物型映射有时被称为单纯抛物型或抛物II型或自同构型。类似地,具有零双曲阶跃的抛物线映射有时称为双抛物线型或抛物线I型或非自同构型。

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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