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数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Continuity of some important functions

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实分析Real Analysis中的各种观点可以从实线中归纳到更广泛或更抽象的背景中。这些概括将实分析与其他学科和子学科联系起来。例如,将连续函数和紧凑性等思想从实分析中概括到公制空间和拓扑空间,将实分析与一般拓扑学领域联系起来,而将有限维欧几里得空间概括到无限维类似物,导致了巴纳赫空间和希尔伯特空间的概念,以及更广泛的函数分析。乔治-康托对实数的集合和序列、它们之间的映射以及实数分析的基础问题的研究催生了天真的集合理论。对函数序列收敛问题的研究,最终产生了作为数学分析的一个分支学科的傅里叶分析。

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数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Continuity of some important functions

数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Continuity of some important functions

Polynomial function.
Let $f(x)=a_0 x^n+a_1: x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_n$ for all $x \in \mathbb{R}$, where $a_o, a_1, \ldots, a_n$ are real numbers. Then $f$ is a polynomial function.
$f$ is the sum of $n+1$ functions $f_0, f_1, f_2, \ldots, f_n$ where $f_i=a_i x^{n-i}, i=$ $0,1,2, \ldots, n$. Each $f_i$ is continuns on $\mathbb{R}$. Therefore by Theoren 8.1.5; $f$ is continuous on $\mathbb{R}$.
Rational function.
Let $p(x)$ and $q(x)$ be polynomial functions on $\mathbb{R}$.
There are at most a finite number of real roots, say $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$ of $q(x)$. If $x \neq \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$ then we can define a function $f$ by $f(x)=\frac{m(x)}{\eta(x)}, x \neq \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$.
By Theorem 8.1.4, if $q(c) \neq 0$ then $f$ is continuous at $c$.
That is, if $c$ be not a root of $q(x)$ then $f$ is continuous at $c$.
So a rational function is continuous for all $x \in \mathbb{R}$ for which the function is defined.
Trigonometric functions.
(a) Let $f(x)=\sin x, x \in \mathbb{R}$. Let $c \in \mathbb{R}$.
$$
\begin{aligned}
|\sin x-\sin c| & =2\left|\cos \frac{x+c}{2} \sin \frac{x-c}{2}\right| \
& \leq 2\left|\sin \frac{\pi-c}{2}\right|, \text { since }|\cos x| \leq 1 \
& \leq 2\left|\frac{x-c}{2}\right|, \text { since }|\sin x| \leq|x| \
& =|x-c| .
\end{aligned}
$$
Let us choose $\epsilon>0$.
Then $|\sin x-\sin c|<\epsilon$ for all $x$ satisfying $|x-c|<\epsilon$.
So $f$ is continuous at $c$. Since $c$ is arbitrary, $f$ is continuous on $\mathbb{R}$.
(b) Let $f(x)=\cos x, x \in \mathbb{R}$. Let $c \in \mathbb{R}$.
$$
\begin{aligned}
|\cos x-\cos c| & =2\left|\sin \frac{x+c}{2} \sin \frac{x-c}{2}\right| \
& \leq 2\left|\sin \frac{x-c}{2}\right|, \operatorname{since}\left|\sin \frac{x+c}{2}\right| \leq 1 \
& \leq 2\left|\frac{x-c}{2}\right|, \operatorname{since}|\sin x| \leq|x| \
& =|x-c|
\end{aligned}
$$
Let us choose $\epsilon>0$.
Then $|\cos x-\cos c|<\epsilon$ for all $x$ satisfying $|x-c|<\epsilon$.
So $f$ is continuous at $c$. Since $c$ is arbitrary, $f$ is continuous on $\mathbb{R}$.
(c) Let $f(x)=\tan x$.
$f$ is not defined at the points $(2 n+1) \frac{\pi}{2}(n$ being an integer) where the denominator $\cos x=0$.
Let $c \in \mathbb{R}$ and $c \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$. Then $\lim _{x \rightarrow c} \tan x=\tan c$.
So $f$ is continuous at $c$ when $c \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$.
Thus $f$ is continuous on its domain.
(d) The functions $\cot x, \operatorname{cosec} x, \sec x$ are continuous on their respective domains.

数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Some composite functions

(a) Let $D \subset \mathbb{R}$ and $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ be such that $f(x) \geq 0$ for all $x \in D$ and $f$ is continuous on $D$. Then $\sqrt{f}$ is continuous on $D$.
To prove this, let $g(x)=\sqrt{x}$.
Then the composite function $g f: D \rightarrow \mathbb{R}$ is defined by $g f(x)=$ $\sqrt{f(x)}, x \in D$

Since $f$ is continuous on $D$ and $g$ is continuous on $f(D)$, the composite function $g f$, i.e., $\sqrt{f}$ is continuous on $D$.
Worked Examples.
(i) Prove that the function $h(x)=\sqrt{x^2+3}, x \in \mathbb{R}$ is continuous on $\mathbb{R}$. $h$ is the composite function $g f$ where $f(x)=x^2+3, x \in \mathbb{R}$ and $g(x)=\sqrt{x}, x \geq 0 . f(x)>0$ for $x \in \mathbb{R}$. $f$ is continuous on $\mathbb{R}$ and $g$ is continuous on $f(\mathbb{R})$.
So $g f$ is continuous on $\mathbb{R}$. That is, $h$ is continuous on $\mathbb{R}$.
(ii) Prove that the function $h(x)=\sqrt{\sin x}, x \in[0, \pi]$ is continuous on $[0, \pi]$
$h$ is the composite function $g f$ where $f(x)=\sin x, x \in[0, \pi]$ and $g(x)=\sqrt{x}, x \geq 0$.
$f(x) \geq 0$ for $x \in[0, \pi] . \quad f$ is continuous on $[0, \pi]=D$, say. $g$ is continuous on $f(D)$.
So $g f$ is continuous on $[0, \pi]$. That is, $h$ is continuous on $[0, \pi]$.
(iii) Prove that the function $h(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}, x \geq 0$ is continuous on $[0, \infty)$
$h$ is the composite function $g f$ where $f(x)=x+\sqrt{x}, x \geq 0$ and $g(x)=\sqrt{x}, x \geq 0$.
$f(x) \geq 0$ for $x \geq 0$. $f$ is continuous on $[0, \infty)=D$, say. $g$ is continuous on $f(D)$.
So $g f$ is continuous on $[0, \infty)$. That is, $h$ is continuous on $[0, \infty)$.

数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Continuity of some important functions

数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Continuity of some important functions

多项式函数。
设$f(x)=a_0 x^n+a_1: x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_n$为所有$x \in \mathbb{R}$,其中$a_o, a_1, \ldots, a_n$为实数。那么$f$是一个多项式函数。
$f$为$n+1$函数和$f_0, f_1, f_2, \ldots, f_n$,其中$f_i=a_i x^{n-i}, i=$$0,1,2, \ldots, n$。每个$f_i$都在$\mathbb{R}$上继续。因此根据定理8.1.5;$f$在$\mathbb{R}$上是连续的。
有理函数。
设$p(x)$和$q(x)$是$\mathbb{R}$上的多项式函数。
最多有有限个实根,比如$q(x)$的$\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$。如果是$x \neq \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$,那么我们可以用$f(x)=\frac{m(x)}{\eta(x)}, x \neq \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$定义一个函数$f$。
根据定理8.1.4,如果$q(c) \neq 0$则$f$在$c$处连续。
也就是说,如果$c$不是$q(x)$的根,那么$f$在$c$是连续的。
所以有理函数对于所有$x \in \mathbb{R}$都是连续的对于所有都是连续的。
三角函数。
(a)让$f(x)=\sin x, x \in \mathbb{R}$。让$c \in \mathbb{R}$。
$$
\begin{aligned}
|\sin x-\sin c| & =2\left|\cos \frac{x+c}{2} \sin \frac{x-c}{2}\right| \
& \leq 2\left|\sin \frac{\pi-c}{2}\right|, \text { since }|\cos x| \leq 1 \
& \leq 2\left|\frac{x-c}{2}\right|, \text { since }|\sin x| \leq|x| \
& =|x-c| .
\end{aligned}
$$
让我们选择$\epsilon>0$。
然后$|\sin x-\sin c|<\epsilon$对于所有$x$满意的$|x-c|<\epsilon$。 $f$在$c$是连续的。因为$c$是任意的,所以$f$在$\mathbb{R}$上是连续的。 (b)让$f(x)=\cos x, x \in \mathbb{R}$。让$c \in \mathbb{R}$。 $$ \begin{aligned} |\cos x-\cos c| & =2\left|\sin \frac{x+c}{2} \sin \frac{x-c}{2}\right| \ & \leq 2\left|\sin \frac{x-c}{2}\right|, \operatorname{since}\left|\sin \frac{x+c}{2}\right| \leq 1 \ & \leq 2\left|\frac{x-c}{2}\right|, \operatorname{since}|\sin x| \leq|x| \ & =|x-c| \end{aligned} $$ 让我们选择$\epsilon>0$。
然后$|\cos x-\cos c|<\epsilon$对于所有$x$满意的$|x-c|<\epsilon$。
$f$在$c$是连续的。因为$c$是任意的,所以$f$在$\mathbb{R}$上是连续的。
(c)让$f(x)=\tan x$。
$f$在以下点没有定义$(2 n+1) \frac{\pi}{2}(n$是整数),其中分母$\cos x=0$。
让$c \in \mathbb{R}$和$c \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$。然后$\lim _{x \rightarrow c} \tan x=\tan c$。
所以$f$在$c$是连续的,当$c \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$。
因此$f$在其域上是连续的。
(d) $\cot x, \operatorname{cosec} x, \sec x$函数在各自的领域内是连续的。

数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Some composite functions

(a)使$D \subset \mathbb{R}$和$f: D \rightarrow \mathbb{R}$的所有$x \in D$和$f$的$f(x) \geq 0$在$D$上连续。然后$\sqrt{f}$在$D$上连续。
为了证明这一点,让$g(x)=\sqrt{x}$。
复合函数$g f: D \rightarrow \mathbb{R}$定义为 $g f(x)=$ $\sqrt{f(x)}, x \in D$

因为$f$在$D$上连续,$g$在$f(D)$上连续,所以复合函数$g f$,即$\sqrt{f}$在$D$上连续。
工作实例。
(i)证明函数$h(x)=\sqrt{x^2+3}, x \in \mathbb{R}$在$\mathbb{R}$上连续。$h$是复合函数$g f$,其中$f(x)=x^2+3, x \in \mathbb{R}$和$g(x)=\sqrt{x}, x \geq 0 . f(x)>0$表示$x \in \mathbb{R}$。$f$在$\mathbb{R}$上连续,$g$在$f(\mathbb{R})$上连续。
$g f$在$\mathbb{R}$上是连续的。也就是说,$h$在$\mathbb{R}$上连续。
(ii)证明函数$h(x)=\sqrt{\sin x}, x \in[0, \pi]$在$[0, \pi]$上连续
$h$是复合函数$g f$,其中$f(x)=\sin x, x \in[0, \pi]$和$g(x)=\sqrt{x}, x \geq 0$。
例如,$f(x) \geq 0$ ($x \in[0, \pi] . \quad f$)在$[0, \pi]=D$上是连续的。$g$在$f(D)$上是连续的。
$g f$在$[0, \pi]$上是连续的。也就是说,$h$在$[0, \pi]$上连续。
(iii)证明函数$h(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}, x \geq 0$在$[0, \infty)$上是连续的
$h$是复合函数$g f$,其中$f(x)=x+\sqrt{x}, x \geq 0$和$g(x)=\sqrt{x}, x \geq 0$。
$f(x) \geq 0$代表$x \geq 0$。比方说,$f$在$[0, \infty)=D$上是连续的。$g$在$f(D)$上是连续的。
$g f$在$[0, \infty)$上是连续的。也就是说,$h$在$[0, \infty)$上连续。

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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