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数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Higher order derivatives

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数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Higher order derivatives

Let $I$ be an interval and a function $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ be differentiable at a point $c \in I$. If $f$ be differentiable at every point of some subinterval $I_1(c)$ such that $c \in I_1(c) \subset I$, then $f^{\prime}: I_1(c) \rightarrow \mathbb{R}$ is a function on $I_1(c)$.

If $f^{\prime}$ be differentiable at $c$ then the derivative of $f^{\prime}$ at $c$ is called the second order derivative of $f$ at $c$ and is denoted by $f^{\prime \prime}(c)$ or by $f^{(2)}(c)$.
This is to note that $c$ may also be an end point of the sub-interval $I_1(c)$

If $f^{\prime}$ be differentiable at every point of some sub-interval $I_2(c)$ such that $c \in I_2(c) \subset I_1(c)$, then $f^{\prime \prime}: I_2(c) \rightarrow \mathbb{R}$ is a function on $I_2(c)$.

If $f^{\prime \prime}$ be differentiable at $c$ then the derivative of $f^{\prime \prime}$ at $c$ is called the third order derivative of $f$ at $c$ and is denoted by $f^{\prime \prime \prime}(c)$ or by $f^{(3)}(c)$.
In a similar manner we define the $n$th order derivative $f^{(n)}(c)$ whenever the derivative exists.

This is to emphasize that in order that the $n$th derivative of $f$ may exist at $c, f^{(n-1)}$ must be defined on some sub-interval containing $c$, allowing the possibility of $c$ to be an end point also of such subinterval.

数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Sign of the derivative

Let $I \subset \mathbb{R}$ be an interval and a function $f: I \rightarrow \mathbb{R}$.
Let $c$ be an interior point of $I$.
$f$ is said to be increasing at $c$ if there exists a positive $\delta$ such that $f(x)f(c)$ for all $x \in I$ satisfying $cf(c)$ for all $x \in I$ satisfying $c-\deltaf(c)$ for all $x \in I$ satisfying $c<x<c+\delta$;
$f$ is said to be decreasing at $c$ if there exists a positive $\delta$ such that $f(x)<f(c)$ for all $x \in I$ satisfying $c<x<c+\delta$.

Let $c$ be the right end point of $I$.
$f$ is said to be increasing at $c$ if there exists a positive $\delta$ such that $f(x)f(c)$ for all $x \in I$ satisfying $c-\delta<x<c$.

Theorem 9.3.1. Let $I \subset \mathbb{R}$ be an interval and a function $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ be differentiable at $c \in I$.
(i) If $f^{\prime}(c)>0$ then $f$ is increasing at $c$
(ii) if $f^{\prime}(c)<0$ then $f$ is decreasing at $c$. Proof. (i) $\lim _{x \rightarrow c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}>0$. Therefore there exists a positive $\delta$ such that $\frac{f(x)-f(c)}{x-c}>0$ for all $x \in N^{\prime}(c, \delta) \cap I$.
Let $c$ be an interior point of $I$.
Then $\frac{f(x)-f(c)}{x-c}>0$ for all $x \in(c-\delta, c) \cap I$ and for all $x \in(c, c+\delta) \cap I$.
Therefore $f(x)f(c)$ for all $x \in(c, c+\delta) \cap I$. This proves that $f$ is increasing at $c$.
Let $c$ be the left end point of $I$.
Then $\frac{f(x)-f(c)}{x-c}>0$ for all $x \in I$ such that $cf(c)$ for all $x \in I$ such that $c0$ for all $x \in I$ such that $c-\delta<x<c$.
Therefore $f(x)<f(c)$ for all $x \in I$ satisfying $c-\delta<x<c$.
This proves that $f$ is increasing at $c$.
(ii) Similar proof.

数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Sign of the derivative

$f$ 据说在增加 $c$ 如果存在正数 $\delta$ 这样 $f(x)f(c)$ 对所有人 $x \in I$ 令人满意的 $cf(c)$ 对所有人 $x \in I$ 令人满意的 $c-\deltaf(c)$ 对所有人 $x \in I$ 令人满意的 $c<x<c+\delta$；
$f$ 据说在 $c$ 如果存在正数 $\delta$ 这样 $f(x)<f(c)$ 对所有人 $x \in I$ 令人满意的 $c<x<c+\delta$．

(i)如果$f^{\prime}(c)>0$，则$f$在$c$处增加
(ii)如果$f^{\prime}(c)<0$，则$f$在$c$处递减。证明。(i) $\lim _{x \rightarrow c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}>0$。因此存在一个正的$\delta$，使得$\frac{f(x)-f(c)}{x-c}>0$对于所有的$x \in N^{\prime}(c, \delta) \cap I$。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。