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## 数学代写|数学建模代写Mathematical Modeling代考|Rectilinear Motion

Let one end $O$ of an elastic string of natural length $L(=O A)$ be fixed (Figure 4.8) and let the other end to which a particle of mass $m$ is attached be stretched a distance $a$ and then released. At any time $t$, let $x(t)$ be the extension, then the equation of motion of the particle is
$$m \frac{d^2 x}{d t^2}=-\lambda \frac{x}{L}=-k x$$
where $k$ is the elastic constant. If the particle moves in a resisting medium with resistance proportional to the velocity $x^{\prime}$, Eqn. (66) becomes
$$m x^{\prime \prime}+c x^{\prime}+k x=0$$
which is a linear differential equation of the second order. Its solution is
$$x(t)=A_1 e^{\lambda 1 t}+A e^{\lambda 2 t}$$
where $\lambda_1, \lambda_2$ are the roots of
$$m \lambda^2+c \lambda+k=0$$
Here $\lambda_1+\lambda_2=-\frac{c}{m}, \lambda_1 \lambda_2=\frac{k}{m}$. The sum of the roots is negative and the product of the roots is positive.

Case $(i) c^2>4 \mathrm{~km}$, the roots are real and distinct and are negative. As such $x(t) \rightarrow 0$ as $t \rightarrow \infty^{\circ}$. The motion is said to be overdamped.

## 数学代写|数学建模代写Mathematical Modeling代考|Electrical Circuits

Figure 4.9 shows an electrical circuit. The current $i(t)$ amperes represents the time rate of change of charge $q$ flowing in the circuits, so that
$$\frac{d q}{d t}=i(t)$$
(i) There is a resistance of $R$ Ohms in the circuit. This may be provided by a light bulb, an electric heater, or any other electrical device opposing the motion of the charge and causing a potential drop of magnitude $E_R=R i$ volts.
(ii) There is an induction of inductance $L$ henrys which produces a potential drop $E_L=L d i / d t$
(iii) There is a capacitance $C$ which produces a potential drop
$$E_c=\frac{1}{C} q$$
All these potential drops are balanced by the battery which produces a voltage $E$ volts. Now according to Kirchhoff’s second law, the algebraic sum of the voltage drops around a closed circuit is zero so that
$$R i+L \frac{d i}{d t}+\frac{1}{C} q=E(t)$$
Differentiating and using Eqn. (75), we get
$$L \frac{d^2 i}{d t^2}+R \frac{d i}{d t}+\frac{1}{C} i=\frac{d E}{d t}$$
Also substituting for Eqn. (75) in (76), we get
$$L \frac{d^2 q}{d t^2}+R \frac{d q}{d t}+\frac{1}{C} q=E(t)$$

## 数学代写|数学建模代写Mathematical Modeling代考|Rectilinear Motion

$$m \frac{d^2 x}{d t^2}=-\lambda \frac{x}{L}=-k x$$

$$m x^{\prime \prime}+c x^{\prime}+k x=0$$

$$x(t)=A_1 e^{\lambda 1 t}+A e^{\lambda 2 t}$$

$$m \lambda^2+c \lambda+k=0$$

## 数学代写|数学建模代写Mathematical Modeling代考|Electrical Circuits

$$\frac{d q}{d t}=i(t)$$
(1)电路中存在$R$欧姆的电阻。这可以由灯泡、电加热器或任何其他反对电荷运动的电气装置提供，并引起$E_R=R i$伏特量级的电位下降。
(ii)存在电感$L$亨利的感应，产生电位下降$E_L=L d i / d t$
(iii)有一个电容$C$产生电位下降
$$E_c=\frac{1}{C} q$$

$$R i+L \frac{d i}{d t}+\frac{1}{C} q=E(t)$$

$$L \frac{d^2 i}{d t^2}+R \frac{d i}{d t}+\frac{1}{C} i=\frac{d E}{d t}$$

$$L \frac{d^2 q}{d t^2}+R \frac{d q}{d t}+\frac{1}{C} q=E(t)$$

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