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# 数学代写|数学建模代写Mathematical Modeling代考|Solution of Linear Difference Equations by Using the Laplace Transform

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## 数学代写|数学建模代写Mathematical Modeling代考|Solution of Linear Difference Equations by Using the Laplace Transform

Let the linear difference equation be
\begin{aligned} & a_0 f(t)+a_1 f(t-1)+\ldots+a_n f(t-n)=\varphi(t), \ & f(t)=0 \text { when } t<0 \end{aligned}
Let $\bar{f}(\lambda)$ be the Laplace transform of $f(t)$ so that
then
\begin{aligned} \bar{f}(\lambda) & =L(f(t))=\int_0^{\infty} e^{-\lambda t} f(t) d t \ L(f(t-1)) & =\int_1^{\infty} e^{-\lambda t} f(t-1) d t \ & =e^{-\lambda} \int_0^{\infty} e^{-\lambda t} f(t) d t=e^{-\lambda} \bar{f}(\lambda) \ L(f(t-2)) & =\int_2^{\infty} e^{-\lambda t} f(t-2) d t \ & =e^{-2 \lambda} \int_0^{\infty} e^{-\lambda t} f(t) d t=e^{-2 \lambda} \bar{f}(\lambda) \end{aligned}
and so on, so that taking the Laplace transform of both sides of Eqn. (49), we get
$$\left(a_0+a_1 e^{-\lambda}+a_2 e^{-2 \lambda}+\ldots+a_n e^{-n \lambda}\right) \bar{f}(\lambda)=L(\varphi(t))=\bar{\varphi}(\lambda)$$
so that $\bar{f}(\lambda)$ is known. Inverting the Laplace transform, we get $f(t)$. In this case $t$ is regarded as a continuous variate such that $f(t)=0$ when $t<0$. If $t$ is a discrete variate, it is better to use the $z$-transform.

## 数学代写|数学建模代写Mathematical Modeling代考|Solution of Linear Difference Equations by Using the $z$-Transform

Let $\left{u_n\right}$ be an infinite sequence, then its $z$-transform is defined by
$$Z\left(u_n\right)=\sum_{n=0}^{\infty} u_n z^{-n}$$
whenever this infinite series converges. If $\left{u_n\right}$ is a probability distribution and $z=1 / \mathrm{s}$, it will be the same as the probability generating function.

The following results can be easily established:
(i) If $k>0, Z\left(u_{n-k}\right)=z^{-k} Z\left(u_n\right)$
(ii) If $k>0, Z\left(u_{n+k}\right)=z^k\left[Z\left(u_n\right)-\sum_{m=0}^{k-1} u_m z^{-m}\right]$
(iii) $u_{\mathrm{n}}: \quad 1 \quad a^n \quad e^{a n}$
(iii) $Z\left(u_n\right)^n: z /(z-1) \quad z /(z-a) \quad z /\left(z-e^a\right)$
Taking the $z$-transform of both sides of a linear difference equation, we can find $Z\left(u_n\right)$, and expanding it in powers of $1 / z$ and finding the coefficient of $z^{-n}$, we can get $u_n$.

## 数学代写|数学建模代写Mathematical Modeling代考|Solution of Linear Difference Equations by Using the Laplace Transform

\begin{aligned} & a_0 f(t)+a_1 f(t-1)+\ldots+a_n f(t-n)=\varphi(t), \ & f(t)=0 \text { when } t<0 \end{aligned}

\begin{aligned} \bar{f}(\lambda) & =L(f(t))=\int_0^{\infty} e^{-\lambda t} f(t) d t \ L(f(t-1)) & =\int_1^{\infty} e^{-\lambda t} f(t-1) d t \ & =e^{-\lambda} \int_0^{\infty} e^{-\lambda t} f(t) d t=e^{-\lambda} \bar{f}(\lambda) \ L(f(t-2)) & =\int_2^{\infty} e^{-\lambda t} f(t-2) d t \ & =e^{-2 \lambda} \int_0^{\infty} e^{-\lambda t} f(t) d t=e^{-2 \lambda} \bar{f}(\lambda) \end{aligned}

$$\left(a_0+a_1 e^{-\lambda}+a_2 e^{-2 \lambda}+\ldots+a_n e^{-n \lambda}\right) \bar{f}(\lambda)=L(\varphi(t))=\bar{\varphi}(\lambda)$$

## 数学代写|数学建模代写Mathematical Modeling代考|Solution of Linear Difference Equations by Using the $z$-Transform

$$Z\left(u_n\right)=\sum_{n=0}^{\infty} u_n z^{-n}$$

(i)如果$k>0, Z\left(u_{n-k}\right)=z^{-k} Z\left(u_n\right)$
(ii)如果$k>0, Z\left(u_{n+k}\right)=z^k\left[Z\left(u_n\right)-\sum_{m=0}^{k-1} u_m z^{-m}\right]$
(三)$u_{\mathrm{n}}: \quad 1 \quad a^n \quad e^{a n}$
(三)$Z\left(u_n\right)^n: z /(z-1) \quad z /(z-a) \quad z /\left(z-e^a\right)$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。