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随机过程Stochastic Porcesses应用和对现象的研究反过来又激发了新的随机过程的提出。这类随机过程的例子包括维纳过程或布朗运动过程，路易-巴舍利耶用来研究巴黎证券交易所的价格变化，以及A.K.埃朗用来研究一定时期内发生的电话数量的泊松过程。 这两个随机过程被认为是随机过程理论中最重要和最核心的，并且在巴切莱特和埃朗之前和之后，在不同的环境和国家中被反复和独立地发现了。
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数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|CONTINUITY OF PROBABILITY FUNCTIONS
Let $\mathbf{R}$ denote (here and everywhere else throughout the book) the set of all real numbers. We know from calculus that a function $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ is called continuous at a point $c \in \mathbf{R}$ if $\lim {x \rightarrow c} f(x)=f(c)$. It is called continuous on $\mathbf{R}$ if it is continuous at all points $c \in \mathbf{R}$. We also know that this definition is equivalent to the sequential criterion $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ is continuous on $\mathbf{R}$ if and only if, for every convergent sequence $\left{x_n\right}{n=1}^{\infty}$ in $\mathbf{R}$,
$$
\lim {n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=f\left(\lim {n \rightarrow \infty} x_n\right)
$$
This property, in some sense, is shared by the probability function. To explain this, we need to introduce some definitions. But first recall that probability is a set function from $\mathcal{P}(S)$, the set of all possible events of the sample space $S$, to $[0,1]$.
A sequence $\left{E_n, n \geq 1\right}$ of events of a sample space is called increasing if
$$
E_1 \subseteq E_2 \subseteq E_3 \subseteq \cdots \subseteq E_n \subseteq E_{n+1} \cdots ;
$$
it is called decreasing if
$$
E_1 \supseteq E_2 \supseteq E_3 \supseteq \cdots \supseteq E_n \supseteq E_{n+1} \supseteq \cdots
$$
For an increasing sequence of events $\left{E_n, n \geq 1\right}$, by $\lim {n \rightarrow \infty} E_n$ we mean the event that at least one $E_i, 1 \leq i<\infty$ occurs. Therefore, $$ \lim {n \rightarrow \infty} E_n=\bigcup_{i=1}^{\infty} E_i .
$$
Similarly, for a decreasing sequence of events $\left{E_n, n \geq 1\right}$, by $\lim {n \rightarrow \infty} E_n$ we mean the event that every $E_i$ occurs. Thus in this case $$ \lim {n \rightarrow \infty} E_n=\bigcap_{i=1}^{\infty} E_i .
$$
The following theorem expresses the property of probability function that is analogous to (1.4).
数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|PROBABILITIES 0 AND 1
Events with probabilities 1 and 0 should not be misinterpreted. If $E$ and $F$ are events with probabilities 1 and 0 , respectively, it is not correct to say that $E$ is the sample space $S$ and $F$ is the empty set $\emptyset$. In fact, there are experiments in which there exist infinitely many events each with probability 1 , and infinitely many events each with probability 0 . An example follows.
Suppose that an experiment consists of selecting a random point from the interval $(0,1)$. Since every point in $(0,1)$ has a decimal representation such as
$0.529387043219721 \cdots$,
the experiment is equivalent to picking an endless decimal from $(0,1)$ at random (note that if a decimal terminates, all of its digits from some point on are 0 ). In such an experiment we want to compute the probability of selecting the point $1 / 3$. In other words, we want to compute the probability of choosing $0.333333 \cdots$ in a random selection of an endless decimal. Let $A_n$ be the event that the selected decimal has 3 as its first $n$ digits; then
$$
A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset A_4 \supset \cdots \supset A_n \supset A_{n+1} \supset \cdots
$$
since the occurrence of $A_{n+1}$ guarantees the occurrence of $A_n$. Now $P\left(A_1\right)=1 / 10$ because there are 10 choices $0,1,2, \ldots, 9$ for the first digit, and we want only one of them, namely 3 , to occur. $P\left(A_2\right)=1 / 100$ since there are 100 choices $00,01, \ldots, 09,10,11, \ldots, 19,20$, $\ldots, 99$ for the first two digits, and we want only one of them, 33, to occur. $P\left(A_3\right)=1 / 1000$ because there are 1000 choices $000,001, \ldots, 999$ for the first three digits, and we want only one of them, 333, to occur. Continuing this argument, we have $P\left(A_n\right)=(1 / 10)^n$. Since $\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n={1 / 3}$, by Theorem 1.8 ,
$$
P\left(\frac{1}{3} \text { is selected }\right)=P\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\right)=\lim {n \rightarrow \infty} P\left(A_n\right)=\lim {n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{10}\right)^n=0 .
$$
Note that there is nothing special about the point $1 / 3$. For any other point $0 . \alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 \cdots$ from $(0,1)$, the same argument could be used to show that the probability of its occurrence is 0 (define $A_n$ to be the event that the first $n$ digits of the selected decimal are $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$, respectively, and repeat the same argument). We have shown that in random selection of points from $(0,1)$, the probability of the occurrence of any particular point is 0 . Now for $t \in(0,1)$, let $B_t=(0,1)-{t}$. Then $P({t})=0$ implies that
$$
P\left(B_t\right)=P\left({t}^c\right)=1-P({t})=1
$$
随机过程代写
数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|CONTINUITY OF PROBABILITY FUNCTIONS
设$\mathbf{R}$表示所有实数的集合(此处和本书的其他地方)。从微积分中我们知道一个函数$f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$在一点$c \in \mathbf{R}$ if $\lim {x \rightarrow c} f(x)=f(c)$处是连续的。如果在所有点$c \in \mathbf{R}$连续，则在$\mathbf{R}$上称为连续。我们还知道这个定义等价于顺序准则$f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$在$\mathbf{R}$上连续当且仅当，对于$\mathbf{R}$上的每一个收敛序列$\left{x_n\right}{n=1}^{\infty}$，
$$
\lim {n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=f\left(\lim {n \rightarrow \infty} x_n\right)
$$
这个性质，在某种意义上，是由概率函数共享的。为了解释这一点，我们需要引入一些定义。但首先回想一下，概率是一个集合函数，从$\mathcal{P}(S)$，样本空间$S$中所有可能事件的集合，到$[0,1]$。
一个样本空间的事件序列$\left{E_n, n \geq 1\right}$称为递增if
$$
E_1 \subseteq E_2 \subseteq E_3 \subseteq \cdots \subseteq E_n \subseteq E_{n+1} \cdots ;
$$
这叫做if递减
$$
E_1 \supseteq E_2 \supseteq E_3 \supseteq \cdots \supseteq E_n \supseteq E_{n+1} \supseteq \cdots
$$
对于一个不断增加的事件序列$\left{E_n, n \geq 1\right}$，这里的$\lim {n \rightarrow \infty} E_n$指的是至少发生一个$E_i, 1 \leq i<\infty$的事件。因此，$$ \lim {n \rightarrow \infty} E_n=\bigcup_{i=1}^{\infty} E_i .
$$
类似地，对于一个递减的事件序列$\left{E_n, n \geq 1\right}$，我们用$\lim {n \rightarrow \infty} E_n$表示每个$E_i$发生的事件。因此在这种情况下$$ \lim {n \rightarrow \infty} E_n=\bigcap_{i=1}^{\infty} E_i .
$$
下面的定理表示与式(1.4)类似的概率函数的性质。
数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|PROBABILITIES 0 AND 1
概率为1和0的事件不应被误解。如果$E$和$F$分别是概率为1和0的事件，那么说$E$是样本空间$S$, $F$是空集$\emptyset$是不正确的。事实上，在一些实验中存在无限多个事件，每个事件的概率为1，也存在无限多个事件，每个事件的概率为0。下面是一个例子。
假设一个实验包括从$(0,1)$区间中随机选择一个点。因为$(0,1)$中的每个点都有十进制表示，例如
$0.529387043219721 \cdots$，
这个实验相当于从$(0,1)$中随机选择一个无限大的小数(注意，如果小数终止，则从某一点开始的所有数字都为0)。在这样一个实验中，我们想要计算选择点$1 / 3$的概率。换句话说，我们想要计算在无限小数的随机选择中选择$0.333333 \cdots$的概率。设$A_n$为所选小数的第一个$n$位为3的事件;然后
$$
A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset A_4 \supset \cdots \supset A_n \supset A_{n+1} \supset \cdots
$$
因为$A_{n+1}$的出现保证了$A_n$的出现。现在$P\left(A_1\right)=1 / 10$因为第一个数字有10个选择$0,1,2, \ldots, 9$，我们只希望出现其中一个，即3。$P\left(A_2\right)=1 / 100$因为有100个选项$00,01, \ldots, 09,10,11, \ldots, 19,20$, $\ldots, 99$是前两位数字，我们只希望出现其中一个，33。$P\left(A_3\right)=1 / 1000$因为前三位数字有1000个选项$000,001, \ldots, 999$，我们只希望出现其中一个，333。继续这个论证，我们有$P\left(A_n\right)=(1 / 10)^n$。因为$\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n={1 / 3}$，根据定理1.8，
$$
P\left(\frac{1}{3} \text { is selected }\right)=P\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\right)=\lim {n \rightarrow \infty} P\left(A_n\right)=\lim {n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{10}\right)^n=0 .
$$
请注意，$1 / 3$点没有什么特别之处。对于来自$(0,1)$的任何其他点$0 . \alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 \cdots$，可以使用相同的参数来显示其出现的概率为0(将$A_n$定义为所选小数的前$n$位分别为$\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$的事件，并重复相同的参数)。我们已经证明，在$(0,1)$中随机选择点时，任何特定点出现的概率为0。现在对于$t \in(0,1)$，让$B_t=(0,1)-{t}$。那么$P({t})=0$意味着
$$
P\left(B_t\right)=P\left({t}^c\right)=1-P({t})=1
$$
数学代写|随机过程Stochastic Porcesses代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。
微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。