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数学分析Mathematical Analysis 这些理论通常是在实数和复数及函数的背景下研究的。分析学是从微积分演变而来的,它涉及到分析学的基本概念和技术。分析可以区别于几何学;然而,它可以应用于任何有近似性定义的数学对象空间(拓扑空间)或对象之间的特定距离(公制空间)。

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数学代写|数学分析作业代写Mathematical Analysis代考|Linear Functionals and Operators

数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Linear Functionals and Operators

A particularly important set of linear transformations is that from a vector space $U$ to the base field $\mathbb{K}$.
Definition. A linear mapping from a vector space $U$ to the base field $\mathbb{K}$ is called a linear functional on $U$.
The following are examples of linear functionals.
Example 12. Define $\lambda: \mathbb{P} \rightarrow \mathbb{R}$ by $\lambda(f)=\int_0^1 f(x) d x$. (The base field is $\mathbb{R}$ and the polynomials have real coefficients.)
Example 13. Define $\lambda: \mathbb{K}{n \times n} \rightarrow \mathbb{K}$ by $\lambda(A)=\sum{i=1}^n a_{i i}$. Here $A=\left(a_{i j}\right)$ is an $n \times n$ matrix. The quantity $\sum_{i=1}^n a_{i i}$ is called the trace of $A$, often written $\operatorname{tr}(A)$.

Theorem 3.4.12. Let $M$ be a subspace of a vector space $U$. The following are equivalent:
(a) $M=\operatorname{Ker}(\lambda)$ for some nonzero linear functional $\lambda$ on $U$.
(b) M has a one-dimensional complement.
Proof. (a) implies (b). Let $x \in U$ be such that $\lambda(x) \neq 0$. By replacing $x$ with $x / \lambda(x)$, we may assume that $\lambda(x)=1$. For $y \in U$, let $w=y-\lambda(y) x$. Then $\lambda(w)=\lambda(y)-$ $\lambda(\lambda(y) x)=\lambda(y)-\lambda(y) \lambda(x)=0$. This shows that $w \in \operatorname{Ker}(\lambda)=$; hence $y=$ $w+\lambda(y) x \in M+\operatorname{Span}({x})$, and $U=M+\operatorname{Span}({x})$. Next we show that $M \cap$ $\operatorname{Span}({x})={0}$. This will complete the proof. If $y \in M \cap \operatorname{Span}({x})$, then $y=a x$ for some $a \in \mathbb{K}$, and $\lambda(y)=0$. But $\lambda(y)=a \lambda(x)=a$. Thus $a=0$, and $y=0$.
Conversely, suppose that $U=M \oplus \operatorname{Span}({x})$ for some nonzero $x \in U$. Let $S_1$ be a basis for $M$, and let $S=S_1 \cup{x}$. Then $S$ is a basis for $U$. Define $\lambda: S \rightarrow \mathbb{K}$ by $\lambda(x)=1$, and $\lambda(u)=0$ for all $u \in S_1$. Finally, extend $\lambda$ to a linear functional, which we also denote by $\lambda$, on $U$ according to theorem 3.4.4. The reader can easily verify that $\operatorname{Ker}(\lambda)=M$.

数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Matrix Representation and Diagonalization

A careful reading of example 2 in section 3.4 reveals that the set of linear mappings from $\mathbb{K}^n$ to $\mathbb{K}^m$ is in one-to-one correspondence with the set of $m \times n$ matrices. This section generalizes this result. Suppose $U$ and $V$ are finite-dimensional vector spaces and that $\left{u_1, \ldots, n_n\right}$ and $\left{v_1, \ldots, v_m\right}$ are bases for $U$ and $V$, respectively. Theorem 3.4.4 states that a linear mapping $T: U \rightarrow V$ is uniquely determined by the vectors $T\left(u_1\right), \ldots, T\left(u_n\right)$. Since each of the vectors $T\left(u_j\right)$ can be uniquely written as a linear combination of $\left{v_1, \ldots, v_m\right}$ with coefficients in $\mathbb{K}$, the set of coefficients determines $T$ uniquely. This observation is the basis for the opening definition of this section. The information in this section is standard, and we assume familiarity with its contents.
Matrix Representations of Linear Mappings
Let $U$ and $V$ be finite-dimensional vector spaces, and let $n=\operatorname{dim}(U), m=\operatorname{dim}(V)$. Fix a pair of bases $B=\left{u_1, \ldots, u_n\right}$ and $C=\left{v_1, \ldots, v_m\right}$ for $U$ and $V$, respectively. If $T \in \operatorname{Hom}(U, V)$, then, for every $1 \leq j \leq n, T\left(u_j\right)$ can be written as a linear combination of $C$, say, $T\left(u_j\right)=\sum_{i=1}^m a_{i j} v_i$.

Definition. Given the construction in the previous paragraph, the matrix $A=\left(a_{i j}\right)$ is called the matrix of $T$ relative to the base pair $(B, C)$.

The matrix representing a linear mapping is totally dependent on the base pair $(B, C)$ and is even sensitive to the permutation of the elements in each basis. Thus the bases $B$ and $C$ are assumed to be ordered.

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数学分析代写

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一组特别重要的线性变换是从向量空间$U$到基场$\mathbb{K}$的变换。
定义。从向量空间$U$到基场$\mathbb{K}$的线性映射称为$U$上的线性泛函。
下面是线性泛函的例子。
例12。通过$\lambda(f)=\int_0^1 f(x) d x$定义$\lambda: \mathbb{P} \rightarrow \mathbb{R}$。(基场是$\mathbb{R}$,多项式有实系数。)
例13。通过$\lambda(A)=\sum{i=1}^n a_{i i}$定义$\lambda: \mathbb{K}{n \times n} \rightarrow \mathbb{K}$。这里$A=\left(a_{i j}\right)$是一个$n \times n$矩阵。量$\sum_{i=1}^n a_{i i}$称为$A$的迹,常写为$\operatorname{tr}(A)$。

定理3.4.12。设$M$是向量空间$U$的一个子空间。以下是等价的:
(a) $M=\operatorname{Ker}(\lambda)$对于$U$上的非零线性泛函$\lambda$。
(b) M具有一维补。
证明。(a)暗示(b)。设$x \in U$使$\lambda(x) \neq 0$。通过将$x$替换为$x / \lambda(x)$,我们可以假设$\lambda(x)=1$。对于$y \in U$,让$w=y-\lambda(y) x$。然后是$\lambda(w)=\lambda(y)-$$\lambda(\lambda(y) x)=\lambda(y)-\lambda(y) \lambda(x)=0$。这表明$w \in \operatorname{Ker}(\lambda)=$;因此有$y=$$w+\lambda(y) x \in M+\operatorname{Span}({x})$和$U=M+\operatorname{Span}({x})$。接下来我们展示$M \cap$$\operatorname{Span}({x})={0}$。这样证明就完成了。如果是$y \in M \cap \operatorname{Span}({x})$,那么有些是$y=a x$,有些是$a \in \mathbb{K}$,还有$\lambda(y)=0$。但是$\lambda(y)=a \lambda(x)=a$。因此是$a=0$和$y=0$。
反过来,假设$U=M \oplus \operatorname{Span}({x})$对于某个非零$x \in U$。让$S_1$作为$M$的基础,让$S=S_1 \cup{x}$。那么$S$就是$U$的基础。用$\lambda(x)=1$定义$\lambda: S \rightarrow \mathbb{K}$,用$\lambda(u)=0$定义所有的$u \in S_1$。最后,根据定理3.4.4,将$\lambda$扩展为$U$上的线性泛函,我们也用$\lambda$表示它。读者可以很容易地验证$\operatorname{Ker}(\lambda)=M$。

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仔细阅读3.4节中的例2就会发现,从$\mathbb{K}^n$到$\mathbb{K}^m$的线性映射集与$m \times n$矩阵集是一一对应的。本节概括了这个结果。假设$U$和$V$是有限维向量空间,$\left{u_1, \ldots, n_n\right}$和$\left{v_1, \ldots, v_m\right}$分别是$U$和$V$的基。定理3.4.4指出一个线性映射$T: U \rightarrow V$是由向量$T\left(u_1\right), \ldots, T\left(u_n\right)$唯一确定的。由于每个向量$T\left(u_j\right)$都可以唯一地写成$\left{v_1, \ldots, v_m\right}$与$\mathbb{K}$中的系数的线性组合,因此系数集决定了$T$的唯一形式。这一观察结果是本节开篇定义的基础。本节中的信息是标准的,我们假设对其内容很熟悉。
线性映射的矩阵表示
设$U$和$V$是有限维向量空间,设$n=\operatorname{dim}(U), m=\operatorname{dim}(V)$。分别为$U$和$V$固定一对碱基$B=\left{u_1, \ldots, u_n\right}$和$C=\left{v_1, \ldots, v_m\right}$。如果$T \in \operatorname{Hom}(U, V)$,那么对于每个$1 \leq j \leq n, T\left(u_j\right)$都可以写成$C$的线性组合,例如$T\left(u_j\right)=\sum_{i=1}^m a_{i j} v_i$。

定义。根据上一段的构造,将矩阵$A=\left(a_{i j}\right)$称为$T$相对于碱基对$(B, C)$的矩阵。

表示线性映射的矩阵完全依赖于碱基对$(B, C)$,甚至对每个基中的元素的排列敏感。因此假设碱基$B$和$C$是有序的。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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