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数学代写|数论代写Number Theory代考|Gaps Both Large and Small

如果你也在 怎样代写数论Number theory 个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory(或旧时的算术或高等算术)是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯(1777-1855)说:”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象(例如有理数)或定义为整数的概括(例如代数整数)的属性。

数论Number theory整数既可以被视为本身,也可以被视为方程的解(刁藩几何)。数论中的问题通常最好通过研究分析对象(例如黎曼Zeta函数)来理解,这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性(分析数论)。人们也可以研究实数与有理数的关系,例如,由后者逼近的实数(Diophantine逼近)。

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数学代写|数论代写Number Theory代考|Gaps Both Large and Small

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It is not at all hard to find arbitrarily large gaps in the sequence of prime numbers – that is, to find arbitrarily long strings of consecutive composite numbers. In fact we can produce $n$ consecutive composite numbers by using the factorial function as follows:
$$
(n+1) !+2,(n+1) !+3,(n+1) !+4,(n+1) !+5, \ldots,(n+1) !+(n+1) .
$$
So, for example, for $n=10$, we get $11 !+2=39916802$, and we know that the ten consecutive numbers
$39916802,39916803,39916804,39916805, \ldots, 39916811$
will all be composite because the first number has to be divisible by 2 , the second by 3 , the third by 4 , and so on, until the last number is divisible by 11. Or, more ambitiously, if we want a million consecutive composite numbers, we let $n=1000000$, and produce
$$
1000001 !+2,1000001 !+3, \ldots, 1000001 !+1000001
$$
This certainly supports the idea that, as we expect, the primes do get farther apart as we get further out in the sequence of integers.

On the other hand, and this is really quite surprising, it also seems that extremely small gaps between primes continue to mysteriously persist as we get further out in the sequence of integers. In fact, other than the unique gap between the even prime 2 and the first odd prime 3 , the smallest possible gap, a gap of size 2-such as the gap between 17 and 19 , or 59 and 61 , or 1000000000061 and $1000000000063-$ seems to continue to persist no matter how far out we go in the sequence of primes.

In spite of the fact that the prime number theorem tells us that the primes get more and more rare as we go further and further out in the sequence of integers, every once in a while we come across a pair of primes that are as close to one another as they can possibly be. Such a pair of primes-that is, two primes $p$ and $p+2-$ are called twin primes.

数学代写|数论代写Number Theory代考|The Twin Prime Conjecture

One of the great joys of number theory as a subject is that it has provided many interesting questions that are simple to pose and yet remain unanswered after many years, in spite of enormous effort by mathematicians throughout the world. The twin prime conjecture is among the most famous unsolved problems in mathematics and proposes an answer to one such question: Are there infinitely many primes $p$ such that both $p$ and $p+2$ are prime? This conjecture optimistically claims that yes indeed the sequence of prime numbers never runs out of such twin primes.

Overwhelming data support the twin prime conjecture. For example, to find all 35 pairs of twin primes below 1000 , and all 8169 pairs below 1000000 , is relatively straightforward, and at this time all twin primes below 1000000000000000000 have been found! Here is a pair of twin primes with more than a hundred thousand digits each:
$65516468355 \cdot 2^{333333}-1$ and $65516468355 \cdot 2^{333333}+1$.
Yet a proof of the twin prime conjecture is nowhere in sight.
On the plus side, however, it was proved in 1966 that there are infinitely many pairs $p$ and $p+2$ such that $p$ is prime and $p+2$ has at most two prime factors. Problem 10.4 also provides strong support for the twin prime conjecture.

A result known as Brun’s theorem tells us something significant about the way in which twin primes thin out as we go further and further out in the sequence of integers. This theorem, proved in 1915 by the Norwegian mathematician Viggo Brun, says that the series consisting of the sum of the reciprocals of the twin primes converges; that is, the series
$$
\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{1}{17}+\frac{1}{19}\right)+\cdots
$$
converges. For a proof of Brun’s theorem see W. J. LeVeque, Fundamentals of Number Theory (New York: Dover, 1996).

It is natural to extend the idea of twin primes and to ask whether there are any prime triples, that is, any set of three consecutive odd numbers $n, n+2$, and $n+4$ that are all prime. Obviously, the numbers 3,5 , and 7 form such a triple. But, since for any three consecutive odd numbers one of the three numbers must be divisible by 3 , the set ${3,5,7}$ is the only possible such prime triple (see Problem 10.5).

Since looking for prime triples of the form $p, p+2$, and $p+4$ turns out to be not very interesting, it has instead become standard to call three numbers either of the form $p, p+2$, and $p+6$ or of the form $p, p+4$, and $p+6$ prime triplets if all three numbers are prime. The motive for this definition is that-except for the set ${3,5,7}$-this is as close as three odd primes can be. Some examples of prime triplets are ${5,7,11},{7,11,13},{17,19,23}$, and ${37,41,43}$. The most obvious question about prime triplets is whether there are infinitely many. The largest know prime triplet was found in 2012 and consists of the three numbers $81505264551807 \cdot 2^{33444}-1,81505264551807 \cdot 2^{33444}+1$, and $81505264551807 \cdot 2^{33444}+5$, each having 10082 digits.

数学代写|数论代写Number Theory代考|Gaps Both Large and Small

数论代写

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在素数序列中找到任意大的间隙并不难,也就是说,找到任意长的连续合数字符串。实际上,我们可以通过使用下面的阶乘函数生成$n$连续合数:
$$
(n+1) !+2,(n+1) !+3,(n+1) !+4,(n+1) !+5, \ldots,(n+1) !+(n+1) .
$$
例如,对于$n=10$,我们得到$11 !+2=39916802$,我们知道这十个连续的数字
$39916802,39916803,39916804,39916805, \ldots, 39916811$
都是合数,因为第一个数能被2整除,第二个数能被3整除,第三个数能被4整除,以此类推,直到最后一个数能被11整除。或者,更大胆地说,如果我们想要一百万个连续的合数,我们可以输入$n=1000000$,然后生成
$$
1000001 !+2,1000001 !+3, \ldots, 1000001 !+1000001
$$
这当然支持了这个观点,正如我们所期望的那样,当我们在整数序列中越远,质数之间的距离就越远。

另一方面,这真的很令人惊讶,似乎质数之间极小的间隔会随着整数序列的深入而神秘地持续存在。事实上,除了偶数素数2和第一个奇数素数3之间的唯一间隔之外,最小可能的间隔,大小为2的间隔,例如17和19之间的间隔,或59和61之间的间隔,或1000000000061和$1000000000063-$之间的间隔,似乎无论我们在素数序列中走多远,都将继续存在。

尽管质数定理告诉我们,当我们在整数序列中越来越远时,质数会变得越来越少,但每隔一段时间,我们就会遇到一对尽可能接近的质数。这样一对质数,即两个质数$p$和$p+2-$,称为孪生质数。

数学代写|数论代写Number Theory代考|The Twin Prime Conjecture

数论作为一门学科的最大乐趣之一是,它提供了许多有趣的问题,这些问题很容易提出,但多年后仍然没有答案,尽管世界各地的数学家付出了巨大的努力。孪生素数猜想是数学中最著名的未解决问题之一,它提出了这样一个问题的答案:是否有无限多个素数$p$使得$p$和$p+2$都是素数?这个猜想乐观地宣称,是的,素数序列确实永远不会缺少这样的孪生素数。

压倒性的数据支持双素数猜想。例如,要找到所有低于1000的35对双胞胎素数,以及所有低于1000000的8169对双胞胎素数,就相对简单了,此时所有低于1000000000000000000的双胞胎素数都已经找到了!这是一对孪生素数,每一对都超过十万位数:
$65516468355 \cdot 2^{333333}-1$和$65516468355 \cdot 2^{333333}+1$。
然而,孪生素数猜想的证明却无处可寻。
然而,从好的方面来说,在1966年证明了有无限多对$p$和$p+2$,使得$p$是素数,$p+2$最多有两个素数因子。10.4题也为孪生素数猜想提供了强有力的支持。

一个被称为布朗定理的结果告诉了我们一些重要的东西,关于当我们在整数序列中越来越远的时候,孪生素数会越来越少。1915年,挪威数学家维戈·布朗证明了这个定理,它说由两个素数的倒数和组成的级数是收敛的;也就是级数
$$
\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{1}{17}+\frac{1}{19}\right)+\cdots
$$
收敛。关于布朗定理的证明,请参阅W. J. LeVeque,《数论基础》(纽约:Dover, 1996)。

扩展孪生素数的概念并询问是否存在素数三元组是很自然的,也就是说,是否存在三个连续的奇数$n, n+2$和$n+4$,它们都是素数。显然,数字3、5和7构成了这样一个三重。但是,因为对于任意三个连续的奇数,三个数中的一个必须能被3整除,所以集合${3,5,7}$是唯一可能的质数三重(见问题10.5)。

由于寻找$p, p+2$和$p+4$形式的质数三元组不是很有趣,因此,如果三个数都是质数,则将三个数称为$p, p+2$和$p+6$形式或$p, p+4$和$p+6$形式的质数三元组已成为标准。这个定义的动机是——除了集合${3,5,7}$——这是最接近的三个奇素数。质数三元组的一些例子是${5,7,11},{7,11,13},{17,19,23}$和${37,41,43}$。关于质数三元组最明显的问题是是否有无限多个。已知最大的质数三元组是在2012年发现的,由三个数字$81505264551807 \cdot 2^{33444}-1,81505264551807 \cdot 2^{33444}+1$和$81505264551807 \cdot 2^{33444}+5$组成,每个数字都有10082位。

数学代写|数论代写Number Theory代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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