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数学代写|数论代写Number Theory代考|Germain’s Grand Plan

如果你也在 怎样代写数论Number theory 个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory(或旧时的算术或高等算术)是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯(1777-1855)说:”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象(例如有理数)或定义为整数的概括(例如代数整数)的属性。

数论Number theory整数既可以被视为本身,也可以被视为方程的解(刁藩几何)。数论中的问题通常最好通过研究分析对象(例如黎曼Zeta函数)来理解,这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性(分析数论)。人们也可以研究实数与有理数的关系,例如,由后者逼近的实数(Diophantine逼近)。

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数学代写|数论代写Number Theory代考|Germain’s Grand Plan

Here is the idea behind Germain’s ambitious “grand plan” to prove Fermat’s last theorem. She believed that for an odd prime $p$ that provided a counterexample to Fermat’s last theorem it would not be only a single prime $q$ that divides one of $x, y$, or $z$, as in Theorem 11.2, but that “the march of calculation indicates that there must be infinitely many (la marche du calcul indique qu’il doit s’entrouver une infinitê).”

She cites the case of $p=5$-that is, the case $x^5+y^5=z^5$ of Fermat’s last theorem-where the following primes would necessarily divide one of $x, y$, or $z$ :
$2 \cdot 5+1=11,2 \cdot 4 \cdot 5+1=41,2 \cdot 7 \cdot 5+1=71,2 \cdot 10 \cdot 5+1=101$, etc.
But, since it is impossible for infinitely many primes to divide just three numbers, this would mean no counterexample could exist for $p=5$.
Thus Germain’s plan was to provide a method that for each odd prime $p$ would produce infinitely many primes of the form $q=2 n p+1$ such that the primes $q$ would necessarily divide one of $x, y$, or $z$ for any given counterexample $x^p+y^p=z^p$ to Fermat’s last theorem.

The key in Theorem 11.2 was that for any power $x^p$ relatively prime to $2 p+1$ the power $x^p$ was congruent to either +1 or -1 modulo $2 p+1$. The key in Germain’s general method is the notion of consecutive nonzero powers modulo $2 n p+1$. Let’s look carefully at an example.

Consider $p=5$ and assume that $x^5+y^5=z^5$ is a counterexample to Fermat’s last theorem where $x, y$, and $z$ are positive integers. Further, we assume that $x, y$, and $z$ are relatively prime (otherwise we divide through by their greatest common divisor). What happens if a prime $q$, say 11 , does not divide any of $x, y$, or $z$ ? Then, since $x$ is relatively prime to 11 , we know by Theorem 6.1 that $x$ has an inverse modulo 11. Let $a$ be that inverse; that is, $a x \equiv 1$ (mod 11$)$. So, we can multiply the congruence $x^5+y^5 \equiv z^5(\bmod 11)$ through by $a^5$ to get $(a x)^5+(a y)^5 \equiv(a z)^5$ $(\bmod 11)$, which we can rewrite as $1 \equiv(a z)^5-(a y)^5$ (mod 11). Hence we conclude that modulo 11 the powers $(a z)^5$ and $(a y)^5$ are consecutive as residues in the complete system of residues $0,1,2, \ldots, 10$. Moreover, neither of these two powers can be congruent to 0 since 11 does not divide either $y$ or $z$ (and $a$ is relatively prime to 11 ).

We conclude that if 11 does not divide any of $x, y$, or $z$, then there must be two consecutive nonzero fifth powers modulo 11. But there aren’t! If we compute the fifth powers modulo 11 , we get only the following nonzero residues:
$$
1^5 \equiv 3^5 \equiv 4^5 \equiv 5^5 \equiv 9^5 \equiv 1 \text { and } 2^5 \equiv 6^5 \equiv 7^5 \equiv 8^5 \equiv 10^5 \equiv 10 .
$$

数学代写|数论代写Number Theory代考|Fermat’s Last Theorem

Sophie Germain was the first mathematician after Euler who made significant progress on Fermat’s last theorem. Fermat himself had proved the case $n=4$ using his method of infinite descent. In 1753, Euler proved the case $n=3$ (with a flaw that was later corrected by Legendre). Then, in 1825 , Legendre and Dirichlet independently proved the case $n=5$ basing their proofs on the work of Germain.

A dramatic episode in the long saga of Fermat’s last theorem occurred in the spring of 1847. Gabriel Lamé, who had proved the case $n=7$ eight years earlier, announced to the Paris Academy of Sciences at a meeting on March 1 that he had proved Fermat’s last theorem. Augustin-Louis Cauchy then announced that he too had a proof. However, both of these proofs came crashing down on May 24 when a letter arrived at the Academy from Ernst Eduard Kummer who pointed out that although unique factorization holds for the integers (see Theorem 3.4), it need not hold for number systems involving complex numbers such as those used in the two proofs in question. Lamé and Cauchy had simply assumed that unique factorization would still hold. Nonetheless, Kummer could verify Fermat’s last theorem for all primes less than 100 except for 37, 59, and 67 .

It would not be until the next century-and more than 350 years after Fermat wrote his famous note in the margin of the Arithmeticathat Fermat’s last theorem would finally be proved. Andrew Wiles announced a proof in the summer of 1993 in a series of lectures at Cambridge University. But a serious flaw in his proof was discovered in September and another year (and help from former student Richard Taylor) was needed for Wiles to fix his proof.

Wiles’s proof was in fact the final piece in a very complicated puzzle that began in the 1950s with a conjecture connecting topology and number theory called the Taniyama-Shimura conjecture. This conjecture was first shown to be related to Fermat’s last theorem by Gerhard Frey in 1984. The key breakthrough came in 1986 when Ken Ribet proved that the Taniyama-Shimura conjecture implies Fermat’s last theorem. Thus Wiles’s final assault on Fermat’s last theorem was his ultimately successful attack on a special case of the Taniyama-Shimura conjecture.

数学代写|数论代写Number Theory代考|Gaps Both Large and Small

数论代写

数学代写|数论代写Number Theory代考|Germain’s Grand Plan

下面是热尔曼证明费马最后定理的雄心勃勃的“宏伟计划”背后的想法。她相信,对于一个奇素数$p$,它提供了费马最后定理的反例,它不会像定理11.2中那样,只有一个素数$q$可以除$x, y$或$z$,而是“计算的进程表明,必须有无限多个(la marche du calinque qu’il doit s’entrouver une infinitê)。”

她引用了$p=5$的例子,也就是费马最后定理$x^5+y^5=z^5$的例子,在这个例子中,以下质数必然会除以$x, y$或$z$中的一个:
$2 \cdot 5+1=11,2 \cdot 4 \cdot 5+1=41,2 \cdot 7 \cdot 5+1=71,2 \cdot 10 \cdot 5+1=101$等。
但是,由于无限多个质数不可能被三个数整除,这就意味着$p=5$不存在反例。
因此,Germain的计划是提供一种方法,对于每一个奇素数$p$将产生无限多个形式为$q=2 n p+1$的素数,使得这些素数$q$必然会除以$x, y$中的一个,或者对于费马最后定理的任何给定反例$x^p+y^p=z^p$中的$z$。

定理11.2的关键在于,对于任意次幂$x^p$相对于$2 p+1$的素数,次幂$x^p$等于+1或-1对$2 p+1$取模。Germain一般方法的关键是连续非零幂模的概念$2 n p+1$。让我们仔细看一个例子。

考虑$p=5$并假设$x^5+y^5=z^5$是费马最后定理的反例,其中$x, y$和$z$是正整数。此外,我们假设$x, y$和$z$是相对素数(否则我们除以它们的最大公约数)。如果质数$q$,比如11,不能整除$x, y$或$z$,会发生什么?然后,由于$x$是11的相对素数,根据定理6.1,我们知道$x$有一个逆模11。设$a$为倒数;即$a x \equiv 1$ (mod 11 $)$)。所以,我们可以用$x^5+y^5 \equiv z^5(\bmod 11)$乘以$a^5$得到$(a x)^5+(a y)^5 \equiv(a z)^5$$(\bmod 11)$,我们可以重写为$1 \equiv(a z)^5-(a y)^5$ (mod 11)由此我们得出模11的幂$(a z)^5$和$(a y)^5$作为残数$0,1,2, \ldots, 10$的完备系统中的残数是连续的。此外,这两个幂都不可能等于0,因为11既不能整除$y$,也不能整除$z$ ($a$相对于11是素数)。

我们得出结论,如果11不能除$x, y$或$z$中的任何一个,则必须有两个连续的非零五次方对11取模。但是没有!如果我们计算模11的五次幂,我们只得到以下的非零残数:
$$
1^5 \equiv 3^5 \equiv 4^5 \equiv 5^5 \equiv 9^5 \equiv 1 \text { and } 2^5 \equiv 6^5 \equiv 7^5 \equiv 8^5 \equiv 10^5 \equiv 10 .
$$

数学代写|数论代写Number Theory代考|Fermat’s Last Theorem

索菲·热尔曼是继欧拉之后第一个在费马最后定理上取得重大进展的数学家。费马自己用无限下降法证明了n=4的情形。1753年,欧拉证明了n=3的情形(有一个缺陷,后来被勒让德纠正了)。然后,在1825年,勒让德和狄利克雷在日耳曼的工作的基础上独立地证明了n=5。

在费马最后定理漫长的传奇故事中,一个戏剧性的情节发生在1847年春天。8年前证明了n=7的加布里埃尔·拉姆奈尔在3月1日的一次会议上向巴黎科学院宣布,他已经证明了费马最后定理。奥古斯丁-路易斯·柯西随后宣布他也有了一个证明。然而,这两个证明在5月24日都崩溃了,因为恩斯特·爱德华·库默(Ernst edward Kummer)的一封信到达了科学院,他指出,尽管唯一因数分解对整数成立(见定理3.4),但它不一定对涉及复数的数字系统成立,比如在两个证明中使用的那些数字系统。lam和柯西只是假设唯一分解仍然成立。尽管如此,Kummer可以对除37、59和67以外的所有小于100的质数验证费马最后定理。

直到下个世纪,也就是费马在《算术》的页边空白处写下著名笔记350多年后,费马的最后一个定理才最终被证明。1993年夏天,安德鲁·怀尔斯在剑桥大学的一系列讲座中宣布了一个证明。但是9月,他的证明中发现了一个严重的缺陷,又过了一年(在他以前的学生理查德·泰勒的帮助下),怀尔斯才修正了他的证明。

怀尔斯的证明实际上是一个非常复杂的谜题的最后一块拼图,这个谜题始于20世纪50年代,是一个连接拓扑和数论的猜想,叫做谷山-志村猜想。这个猜想最初是由格哈德·弗雷在1984年证明与费马最后定理有关。关键的突破出现在1986年,当时肯·里贝特证明了谷山-志村猜想隐含了费马最后定理。因此,怀尔斯对费马最后定理的最后一次攻击,是他对谷山-志村猜想的一个特例的最终成功攻击。

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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