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# 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Continuity of probabilities

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## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Continuity of probabilities

Given a probability triple $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$, and events $A, A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{F}$, we write $\left{A_n\right} \nearrow A$ to mean that $A_1 \subseteq A_2 \subseteq A_3 \subseteq \ldots$, and $\bigcup_n A_n=A$. In words, the events $A_n$ increase to $A$. Similarly, we write $\left{A_n\right} \searrow A$ to mean that $\left{A_n^C\right} \nearrow A^C$, or equivalently that $A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq \ldots$, and $\bigcap_n A_n=A$. In words, the events $A_n$ decrease to $A$. We then have

Proposition 3.3.1. (Continuity of probabilities.) If $\left{A_n\right} \nearrow A$ or $\left{A_n\right} \searrow A$, then $\lim _{n \rightarrow \infty} \mathbf{P}\left(A_n\right)=\mathbf{P}(A)$.

Proof. Suppose $\left{A_n\right} \nearrow A$. Let $B_n=A_n \cap A_{n-1}^C$. Then the $\left{B_n\right}$ are disjoint, with $\bigcup B_n=\bigcup A_n=A$. Hence,
$$\begin{gathered} \mathbf{P}(A)=\mathbf{P}\left(\bigcup_m^{\cdot} B_m\right)=\sum_{m=1}^{\infty} \mathbf{P}\left(B_m\right) \ =\lim {n \rightarrow \infty} \sum{m=1}^n \mathbf{P}\left(B_m\right)=\lim {n \rightarrow \infty} \mathbf{P}\left(\bigcup{m \leq n} B_m\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \mathbf{P}\left(A_n\right) \end{gathered}$$
(where the last equality is the only time we use that the $\left{A_m\right}$ are a nested sequence).
If instead $\left{A_n\right} \searrow A$, then $\left{A_n^C\right} \nearrow A^C$, so
\begin{aligned} \mathbf{P}(A)=1-\mathbf{P}\left(A^C\right)=1-\lim _n \mathbf{P}\left(A_n^C\right) \ =\lim _n\left(1-\mathbf{P}\left(A_n^C\right)\right)=\lim _n \mathbf{P}\left(A_n\right) . \end{aligned}

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Limit events

Given events $A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{F}$, we define
$$\underset{n}{\limsup } A_n=\left{A_n \text { i.o. }\right}=\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k$$
and
$$\lim n \inf A_n=\left{A_n \text { a.a. }\right}=\bigcup{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} A_k .$$
The event $\limsup _n A_n$ is referred to as ” $A_n$ infinitely often”; it stands for those $\omega \in \Omega$ which are in infinitely many of the $A_n$. Intuitively, it is the event that infinitely many of the events $A_n$ occur. Similarly, the event $\lim \inf _n A_n$ is referred to as ” $A_n$ almost always”; intuitively, it is the event that all but a finite number of the events $A_n$ occur.

Since $\mathcal{F}$ is a $\sigma$-algebra, we see that $\lim \sup _n A_n \in \mathcal{F}$ and $\lim \inf _n A_n \in \mathcal{F}$. Also, by de Morgan’s laws, $\left(\limsup _n A_n\right)^C=\liminf _n\left(A_n^C\right)$, so $\mathbf{P}\left(A_n\right.$ i.o. $)=$ $1-\mathbf{P}\left(A_n^C\right.$ a.a. $)$.

For example, suppose $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$ is infinite fair coin tossing, and $H_n$ is the event that the $n^{\text {th }}$ coin is heads. Then $\limsup _n H_n$ is the event that there are infinitely many heads. Also, $\lim \inf _n H_n$ is the event that all but a finite number of the coins were heads, i.e. that there were only finitely many tails.

# 概率论代写

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Continuity of probabilities

$$\begin{gathered} \mathbf{P}(A)=\mathbf{P}\left(\bigcup_m^{\cdot} B_m\right)=\sum_{m=1}^{\infty} \mathbf{P}\left(B_m\right) \ =\lim {n \rightarrow \infty} \sum{m=1}^n \mathbf{P}\left(B_m\right)=\lim {n \rightarrow \infty} \mathbf{P}\left(\bigcup{m \leq n} B_m\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \mathbf{P}\left(A_n\right) \end{gathered}$$
(最后一个等式是我们唯一使用$\left{A_m\right}$是嵌套序列的时候)。

\begin{aligned} \mathbf{P}(A)=1-\mathbf{P}\left(A^C\right)=1-\lim _n \mathbf{P}\left(A_n^C\right) \ =\lim _n\left(1-\mathbf{P}\left(A_n^C\right)\right)=\lim _n \mathbf{P}\left(A_n\right) . \end{aligned}

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Limit events

$$\underset{n}{\limsup } A_n=\left{A_n \text { i.o. }\right}=\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k$$

$$\lim n \inf A_n=\left{A_n \text { a.a. }\right}=\bigcup{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} A_k .$$

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