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数学代写|微积分代写Calculus代考|Even Functions and Odd Functions: Symmetry

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微积分Calculus 它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互关联,它们利用了无限序列和无限数列收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。17世纪末,牛顿(Isaac Newton)和莱布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz)独立开发了无限小数微积分。后来的工作,包括对极限概念的编纂,将这些发展置于更坚实的概念基础上。今天,微积分在科学、工程和社会科学中得到了广泛的应用。

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数学代写|微积分代写Calculus代考|Even Functions and Odd Functions: Symmetry

数学代写|微积分代写Calculus代考|Even Functions and Odd Functions: Symmetry

The graphs of even and odd functions have special symmetry properties.
DEFINITIONS A function $y=f(x)$ is an
$$
\begin{aligned}
& \text { even function of } x \text { if } f(-x)=f(x), \
& \text { odd function of } x \quad \text { if } f(-x)=-f(x),
\end{aligned}
$$
for every $x$ in the function’s domain.
The names even and odd come from powers of $x$. If $y$ is an even power of $x$, as in $y=x^2$ or $y=x^4$, it is an even function of $x$ because $(-x)^2=x^2$ and $(-x)^4=x^4$. If $y$ is an odd power of $x$, as in $y=x$ or $y=x^3$, it is an odd function of $x$ because $(-x)^1=-x$ and $(-x)^3=-x^3$

The graph of an even function is symmetric about the $\boldsymbol{y}$-axis. Since $f(-x)=f(x)$, a point $(x, y)$ lies on the graph if and only if the point $(-x, y)$ lies on the graph (Figure 1.12a). A reflection across the $y$-axis leaves the graph unchanged.

The graph of an odd function is symmetric about the origin. Since $f(-x)=-f(x)$, a point $(x, y)$ lies on the graph if and only if the point $(-x,-y)$ lies on the graph (Figure 1.12b). Equivalently, a graph is symmetric about the origin if a rotation of $180^{\circ}$ about the origin leaves the graph unchanged. Notice that the definitions imply that both $x$ and $-x$ must be in the domain of $f$.

数学代写|微积分代写Calculus代考|Common Functions

A variety of important types of functions are frequently encountered in calculus.
Linear Functions A function of the form $f(x)=m x+b$, where $m$ and $b$ are fixed constants, is called a linear function. Figure 1.14a shows an array of lines $f(x)=m x$. Each of these has $b=0$, so these lines pass through the origin. The function $f(x)=x$ where $m=1$ and $b=0$ is called the identity function. Constant functions result when the slope is $m=0$ (Figure 1.14b).

DEFINITION Two variables $y$ and $x$ are proportional (to one another) if one is always a constant multiple of the other-that is, if $y=k x$ for some nonzero constant $k$.
If the variable $y$ is proportional to the reciprocal $1 / x$, then sometimes it is said that $y$ is inversely proportional to $x$ (because $1 / x$ is the multiplicative inverse of $x$ ).

Power Functions A function $f(x)=x^a$, where $a$ is a constant, is called a power function. There are several important cases to consider.

(a) $f(x)=x^a$ with $a=n$, a positive integer.
The graphs of $f(x)=x^n$, for $n=1,2,3,4,5$, are displayed in Figure 1.15. These functions are defined for all real values of $x$. Notice that as the power $n$ gets larger, the curves tend to flatten toward the $x$-axis on the interval $(-1,1)$ and to rise more steeply for $|x|>1$. Each curve passes through the point $(1,1)$ and through the origin. The graphs of functions with even powers are symmetric about the $y$-axis; those with odd powers are symmetric about the origin. The even-powered functions are decreasing on the interval $(-\infty, 0]$ and increasing on $[0, \infty)$; the odd-powered functions are increasing over the entire real line $(-\infty, \infty)$.

(b) $f(x)=x^a$ with $a=-1$ or $a=-2$.
The graphs of the functions $f(x)=x^{-1}=1 / x$ and $g(x)=x^{-2}=1 / x^2$ are shown in Figure 1.16. Both functions are defined for all $x \neq 0$ (you can never divide by zero). The graph of $y=1 / x$ is the hyperbola $x y=1$, which approaches the coordinate axes far from the origin. The graph of $y=1 / x^2$ also approaches the coordinate axes. The graph of the function $f$ is symmetric about the origin; $f$ is decreasing on the intervals $(-\infty, 0)$ and $(0, \infty)$. The graph of the function $g$ is symmetric about the $y$-axis; $g$ is increasing on $(-\infty, 0)$ and decreasing on $(0, \infty)$.

(c) $a=\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{3}{2}$, and $\frac{2}{3}$.
The functions $f(x)=x^{1 / 2}=\sqrt{x}$ and $g(x)=x^{1 / 3}=\sqrt[3]{x}$ are the square root and cube root functions, respectively. The domain of the square root function is $[0, \infty)$, but the cube root function is defined for all real $x$. Their graphs are displayed in Figure 1.17, along with the graphs of $y=x^{3 / 2}$ and $y=x^{2 / 3}$. (Recall that $x^{3 / 2}=\left(x^{1 / 2}\right)^3$ and $x^{2 / 3}=\left(x^{1 / 3}\right)^2$.)
Polynomials A function $p$ is a polynomial if
$$
p(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0
$$
where $n$ is a nonnegative integer and the numbers $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n$ are real constants (called the coefficients of the polynomial). All polynomials have domain $(-\infty, \infty)$. If the leading coefficient $a_n \neq 0$, then $n$ is called the degree of the polynomial. Linear functions with $m \neq 0$ are polynomials of degree 1 . Polynomials of degree 2 , usually written as $p(x)=a x^2+b x+c$, are called quadratic functions. Likewise, cubic functions are polynomials $p(x)=a x^3+b x^2+c x+d$ of degree 3. Figure 1.18 shows the graphs of three polynomials. Techniques to graph polynomials are studied in Chapter 4 .

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微积分代写

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奇偶函数图具有特殊的对称性。
函数$y=f(x)$是一个
$$
\begin{aligned}
& \text { even function of } x \text { if } f(-x)=f(x), \
& \text { odd function of } x \quad \text { if } f(-x)=-f(x),
\end{aligned}
$$
对于函数定义域内的每个$x$。
偶数和奇数的名字来自$x$的幂。如果$y$是$x$的偶次幂,如$y=x^2$或$y=x^4$,则它是$x$的偶函数,因为$(-x)^2=x^2$和$(-x)^4=x^4$。如果$y$是$x$的奇次幂,如$y=x$或$y=x^3$,那么它就是$x$的奇次幂,因为$(-x)^1=-x$和 $(-x)^3=-x^3$

偶函数的图形是关于$\boldsymbol{y}$ -轴对称的。由于$f(-x)=f(x)$,当且仅当点$(-x, y)$位于图上时,点$(x, y)$位于图上(图1.12a)。在$y$ -轴上的反射使图形保持不变。

奇函数的图是关于原点对称的。由于$f(-x)=-f(x)$,当且仅当点$(-x,-y)$位于图上时,点$(x, y)$位于图上(图1.12b)。同样地,如果围绕原点旋转$180^{\circ}$使图保持不变,则图关于原点是对称的。注意,定义暗示$x$和$-x$都必须在$f$的域中。

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在微积分中经常遇到各种重要类型的函数。
像$f(x)=m x+b$这样的函数称为线性函数,其中$m$和$b$是固定常数。图1.14a显示了一组行$f(x)=m x$。每条线都有$b=0$,所以这些线都经过原点。包含$m=1$和$b=0$的函数$f(x)=x$称为恒等函数。斜率为$m=0$时得到常数函数(图1.14b)。

两个变量$y$和$x$是成比例的(彼此),如果其中一个总是另一个的常数倍,也就是说,如果$y=k x$对于一些非零常数$k$。
如果变量$y$与倒数$1 / x$成正比,那么有时就说$y$与$x$成反比(因为$1 / x$是$x$的乘法倒数)。

函数$f(x)=x^a$ ($a$是常数)称为幂函数。有几个重要的案例需要考虑。

(a) $f(x)=x^a$与$a=n$为正整数。
对于$n=1,2,3,4,5$, $f(x)=x^n$的图形如图1.15所示。这些函数是为$x$的所有实值定义的。请注意,当功率$n$变大时,曲线趋向于在区间$(-1,1)$上向$x$ -轴方向变平,并且在$|x|>1$处上升得更陡。每条曲线都经过$(1,1)$点和原点。偶幂函数的图是关于$y$ -轴对称的;那些有奇次幂的是关于原点对称的。偶幂函数在$(-\infty, 0]$区间上减小,在$[0, \infty)$区间上增大;奇幂函数在整条实数线上增加$(-\infty, \infty)$。

(b) $f(x)=x^a$与$a=-1$或$a=-2$。
函数$f(x)=x^{-1}=1 / x$和$g(x)=x^{-2}=1 / x^2$的曲线图如图1.16所示。这两个函数都是为所有$x \neq 0$定义的(永远不能除以0)。$y=1 / x$的图形是双曲线$x y=1$,它接近远离原点的坐标轴。$y=1 / x^2$的图形也接近坐标轴。函数$f$的图形是关于原点对称的;$f$在$(-\infty, 0)$和$(0, \infty)$之间递减。函数$g$的图形是关于$y$轴对称的;$g$在$(-\infty, 0)$上增加,在$(0, \infty)$上减少。

(c) $a=\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{3}{2}$和$\frac{2}{3}$。
其中$f(x)=x^{1 / 2}=\sqrt{x}$和$g(x)=x^{1 / 3}=\sqrt[3]{x}$分别为平方根和立方根函数。平方根函数的定义域是$[0, \infty)$,但立方根函数是为所有实数$x$定义的。图1.17显示了它们的曲线图,以及$y=x^{3 / 2}$和$y=x^{2 / 3}$的曲线图。(回想一下$x^{3 / 2}=\left(x^{1 / 2}\right)^3$和$x^{2 / 3}=\left(x^{1 / 3}\right)^2$。)
函数$p$是一个多项式
$$
p(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0
$$
其中$n$是一个非负整数,数字$a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n$是实常数(称为多项式的系数)。所有多项式都有定义域$(-\infty, \infty)$。如果前导系数为$a_n \neq 0$,则$n$称为多项式的次数。具有$m \neq 0$的线性函数是1次多项式。二阶多项式,通常写成$p(x)=a x^2+b x+c$,被称为二次函数。同样,三次函数是3次多项式$p(x)=a x^3+b x^2+c x+d$。图1.18显示了三个多项式的曲线图。第四章研究了多项式图的技术。

数学代写|微积分代写Calculus 代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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