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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Multivariate Factorization
In this chapter we show how to reduce the factorization of multivariate polynomials in $K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ to the case of one variable. The idea is similar to the reduction of the factorization in $\mathbb{Z}[x]$ to the factorization in $\mathbb{Z} / p[x]$. We choose a so-called main variable, say $x_n$ and a suitable point $a=\left(a_1, \ldots, a_{n-1}\right) \in K^{n-1}$. Let $\mathfrak{m}a \in K\left[x_1, \ldots, x{n-1}\right]$ be the maximal ideal corresponding to $a$. We factorize $f\left(a, x_n\right)$ in $K\left[x_n\right]=\left(K\left[x_1, \ldots, x_{n-1}\right] / \mathfrak{m}a\right)\left[x_n\right]$ and use Hensel lifting to lift the factors to $\left(K\left[x_1, \ldots, x{n-1}\right] / \mathfrak{m}_a^N\right)\left[x_n\right]$ for sufficiently large $N$. We choose (unique) representatives of these liftings and combine them to obtain the true factors. Let us start with an example.
Example B.6.1.
$$
\begin{aligned}
f= & x^4+(-z+3) x^3+\left(z^3+(y-3) z-y^2-13\right) x^2 \
& +\left(-z^4+\left(y^2+3 y+15\right) z+6\right) x \
& +y z^4+2 z^3+z\left(-y^3-15 y\right)-2 y^2-30 .
\end{aligned}
$$
We chose $x$ as main variable, $a=(0,0), \mathfrak{m}_a=\langle y, z\rangle$ and factorize $f(x, 0,0)$. We obtain
$$
f(x, 0,0)=x^4+3 x^3-13 x^2+6 x-30=g_1 \cdot h_1
$$
with $g_1=x^2+2$ and $h_1=x^2+3 x-15$.
We want to lift the factorization $f=g_1 h_1\left(\bmod \mathfrak{m}_a\right)$ to $f=g_i h_i\left(\bmod \mathfrak{m}_a^i\right)$ for increasing $i$ (Hensel lifting).
We have
$$
\begin{aligned}
f-g_1 h_1\left(\bmod \mathfrak{m}_a^2\right) & =-z x^3-3 z x^2+15 z x \
& =-z x \cdot h_1 .
\end{aligned}
$$
For the Hensel lifting we obtain
$$
h_2=h_1 \text { and } g_2=g_1-z x=x^2-z x+2 .
$$
In the next step we have
$$
\begin{aligned}
f-g_2 h_2 \bmod \mathfrak{m}_a^3 & =\left(y z-y^2\right) x^2+3 y z x-15 y z-2 y^2 \
& =y z g_2-y^2 \cdot h_2
\end{aligned}
$$
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Absolute Factorization
Let $K$ be a field of characteristic $0, \bar{K}$ its algebraic closure and assume we are able to compute the multivariate factorization over algebraic extensions of $K$ (our main example is $K=\mathbb{Q}$ ). In this chapter we explain how to compute the absolute factorization of a polynomial $f \in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$, that is, to compute the irreducible factors (and their multiplicities) of $f$ in $\bar{K}\left[x_1, \ldots, x_n\right]$. To solve this problem we may assume that $f$ is irreducible in $K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$.
There exist several approaches to solve this problem (cf. [59], the part written by Chèze and Galligo, or [42]). We concentrate on the algorithm implemented by G. Lecerf in SingULAR.
The idea of this algorithm is to find an algebraic field extension $K(\alpha)$ of $K$ and a smooth point of the affine variety $V(f)$ in $K(\alpha)^n$. Then an (absolutely) irreducible factor of $f$ will be defined over $K(\alpha)$ which can be computed by using the factorization over $K(\alpha)$ described in Section B.5. The idea is based on the following theorem:
Theorem B.7.1. Let $f \in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ be irreducible and $a \in K^n$ a smooth point of $V(f) \subseteq \bar{K}^n$. Then $f$ is absolutely irreducible, i.e. irreducible in $\bar{K}\left[x_1, \ldots, x_n\right]$
Proof. Let $f=f_1 \cdot \ldots \cdot f_t$ be the factorization of $f$ in $\bar{K}\left[x_1, \ldots, x_n\right]$. We may assume that $f_1(a)=0$. Assume that $t>1$. This implies that $f_i \notin$ $K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ for all $i$. Now $a$ being a smooth point of $V(f)$ implies that $f_i(a) \neq 0$ for $i>1$. We may choose $\alpha \in \bar{K}$ such that $f_i \in K(\alpha)\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ for all $i$. Since $f_1 \notin K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ there exist $\sigma \in \operatorname{Gal}_K(K(\alpha))$ such that $\sigma\left(f_1\right) \neq f_1$.
But $\sigma(f)=f=\sigma\left(f_1\right) \cdot \ldots \cdot \sigma\left(f_t\right)$ implies that there is $i \neq 1$ such that $\sigma\left(f_1\right)=c \cdot f_i$ for some non-zero constant $c \in K(\alpha)$.
This implies $0=\sigma\left(f_1(a)\right)=c \cdot f_i(a)$ which is a contradiction. We obtain $t=1$ and $f$ is absolutely irreducible.
If we apply the theorem to $K(\alpha)$ we obtain:
Corollary B.7.2. Let $f \in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ be irreducible, $\alpha \in \bar{K}$ and $a \in$ $K(\alpha)^n$ a smooth point of $V(f) \subseteq \bar{K}^n$, then at least one absolutely irreducible factor of $f$ is defined over $K(\alpha)$.
For $f$ irreducible it is not difficult to find $\alpha$ and a smooth point of $V(f)$ in $K(\alpha)^n$ (use Lemma B.6.8). We deduce that for irreducible $f \in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$, $\operatorname{deg}_{x_n}(f)>0, f\left(a, x_n\right)$ is squarefree for almost all $a \in K^{n-1}$.
交换代数代写
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Multivariate Factorization
在本章中，我们将展示如何将$K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$中的多元多项式分解为一个变量的情况。其思想类似于将$\mathbb{Z}[x]$中的因数分解分解为$\mathbb{Z} / p[x]$中的因数分解。我们选择一个所谓的主变量，比如$x_n$和一个合适的点$a=\left(a_1, \ldots, a_{n-1}\right) \in K^{n-1}$。设$\mathfrak{m}a \in K\left[x_1, \ldots, x{n-1}\right]$为$a$对应的最大理想。我们在$K\left[x_n\right]=\left(K\left[x_1, \ldots, x_{n-1}\right] / \mathfrak{m}a\right)\left[x_n\right]$中分解$f\left(a, x_n\right)$，并使用Hensel提升将因子提升到$\left(K\left[x_1, \ldots, x{n-1}\right] / \mathfrak{m}_a^N\right)\left[x_n\right]$，以获得足够大的$N$。我们选择这些升降机的(独特的)代表，并将它们组合起来，以获得真正的因素。让我们从一个例子开始。
例B.6.1。
$$
\begin{aligned}
f= & x^4+(-z+3) x^3+\left(z^3+(y-3) z-y^2-13\right) x^2 \
& +\left(-z^4+\left(y^2+3 y+15\right) z+6\right) x \
& +y z^4+2 z^3+z\left(-y^3-15 y\right)-2 y^2-30 .
\end{aligned}
$$
我们选择$x$为主变量$a=(0,0), \mathfrak{m}_a=\langle y, z\rangle$并因式分解$f(x, 0,0)$。我们得到
$$
f(x, 0,0)=x^4+3 x^3-13 x^2+6 x-30=g_1 \cdot h_1
$$
有$g_1=x^2+2$和$h_1=x^2+3 x-15$。
我们希望将分解$f=g_1 h_1\left(\bmod \mathfrak{m}_a\right)$提升到$f=g_i h_i\left(\bmod \mathfrak{m}_a^i\right)$以增加$i$ (Hensel提升)。
我们有
$$
\begin{aligned}
f-g_1 h_1\left(\bmod \mathfrak{m}_a^2\right) & =-z x^3-3 z x^2+15 z x \
& =-z x \cdot h_1 .
\end{aligned}
$$
我们得到了亨塞尔的提升
$$
h_2=h_1 \text { and } g_2=g_1-z x=x^2-z x+2 .
$$
下一步我们有
$$
\begin{aligned}
f-g_2 h_2 \bmod \mathfrak{m}_a^3 & =\left(y z-y^2\right) x^2+3 y z x-15 y z-2 y^2 \
& =y z g_2-y^2 \cdot h_2
\end{aligned}
$$
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Absolute Factorization
设$K$为特征域$0, \bar{K}$的代数闭包，并假设我们能够在$K$的代数扩展上计算多元因子分解(我们的主要示例是$K=\mathbb{Q}$)。在本章中，我们将解释如何计算多项式$f \in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$的绝对因子分解，即计算$\bar{K}\left[x_1, \ldots, x_n\right]$中$f$的不可约因子(及其多重性)。为了解决这个问题，我们可以假设$f$在$K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$是不可约的。
有几种方法可以解决这个问题(参见[59]，chhezze和Galligo撰写的部分，或[42])。我们主要研究了g.l ecerf在SingULAR中实现的算法。
该算法的思想是找到$K$的一个代数域扩展$K(\alpha)$和$K(\alpha)^n$中仿射变量$V(f)$的一个光滑点。然后，将在$K(\alpha)$上定义一个(绝对)不可约的因子$f$，该因子可以通过使用B.5节中描述的$K(\alpha)$分解来计算。这个想法基于以下定理:
定理b。设$f \in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$不可约，$a \in K^n$为$V(f) \subseteq \bar{K}^n$的光滑点。那么$f$是绝对不可约的，即在 $\bar{K}\left[x_1, \ldots, x_n\right]$
证明。设$f=f_1 \cdot \ldots \cdot f_t$为$\bar{K}\left[x_1, \ldots, x_n\right]$中$f$的因式分解。我们可以假设$f_1(a)=0$。假设$t>1$。这意味着$f_i \notin$$K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$对于所有$i$。现在$a$是$V(f)$的平滑点意味着$f_i(a) \neq 0$是$i>1$。我们可以选择$\alpha \in \bar{K}$，使得$f_i \in K(\alpha)\left[x_1, \ldots, x_n\right]$适用于所有$i$。既然$f_1 \notin K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$存在$\sigma \in \operatorname{Gal}_K(K(\alpha))$，那么$\sigma\left(f_1\right) \neq f_1$。
但是$\sigma(f)=f=\sigma\left(f_1\right) \cdot \ldots \cdot \sigma\left(f_t\right)$意味着存在$i \neq 1$使得$\sigma\left(f_1\right)=c \cdot f_i$对于某个非零常数$c \in K(\alpha)$。
这意味着$0=\sigma\left(f_1(a)\right)=c \cdot f_i(a)$，这是一个矛盾。我们得到$t=1$和$f$是绝对不可约的。
如果我们将定理应用到$K(\alpha)$，我们得到:
推论B.7.2。设$f \in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$不可约，$\alpha \in \bar{K}$和$a \in$$K(\alpha)^n$为$V(f) \subseteq \bar{K}^n$的光滑点，则在$K(\alpha)$上定义了至少一个$f$的绝对不可约因子。
对于$f$不可约，在$K(\alpha)^n$中不难找到$\alpha$和平滑点$V(f)$(使用引理B.6.8)。我们推导出对于不可约$f \in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$, $\operatorname{deg}_{x_n}(f)>0, f\left(a, x_n\right)$对几乎所有$a \in K^{n-1}$都是无平方的。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。