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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中,代数整数的环是Dedekind环,因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念,以及估值环扩展的公理化概念。
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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Singularities
In Section A.8 we have already defined singular points as points $p$ of a variety $X$ where the local ring $\mathcal{O}{X, p}$ is not regular. In particular, “singular” is a local notion, where “local” so far was mainly considered with respect to the Zariski topology. However, since the Zariski topology is so coarse, small neighbourhoods in the Zariski topology might not be local enough. If our field $K$ is $\mathbb{C}$, then we may use the Euclidean topology and we can study singular points $p$ in arbitrary small $\varepsilon$-neighbourhoods (as we did already at the end of Section A.8). But then we must also allow more functions, since the regular functions at $p$ (in the sense of Definition A.6.1) are always defined in a Zariski neighbourhood of $p$. Thus, instead of considering germs of regular functions at $p$, we consider germs of complex analytic functions at $p=\left(p_1, \ldots, p_n\right) \in \mathbb{C}$. The ring of these functions is isomorphic to the ring of convergent power series $\mathbb{C}\left{x_1-p_1, \ldots, x_n-p_n\right}$, which is a local ring and contains the ring $\mathbb{C}\left[x_1, \ldots, x_n\right]{\left\langle x_1-p_1, \ldots, x_n-p_n\right\rangle}$ of regular functions at $p$.
For arbitrary (algebraically closed) fields $K$, we cannot talk about convergence and then a substitute for $\mathbb{C}\left{x_1-p_1, \ldots, x_n-p_n\right}$ is the formal power series ring $K\left[\left[x_1-p_1, \ldots, x_n-p_n\right]\right]$. Unfortunately, with formal power series, we cannot go into a neighbourhood of $p$; formal power series are just not defined there. Therefore, when talking about geometry of singularities, we consider $K=\mathbb{C}$ and convergent power series. Usually, the algebraic statements which hold for convergent power series do also hold for formal power series (but are easier to prove since we need no convergence considerations). We just mention in passing that there is, for varieties over general fields,another notion of “local” with étale neighbourhoods and Henselian rings (cf. [143]) which is a geometric substitute of convergent power series over $\mathbb{C}$.
For $I \subset \mathbb{C}[x], x=\left(x_1, \ldots, x_n\right)$, an ideal, we have inclusions of rings
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\mathbb{C}[x] / I \subset \mathbb{C}[x]{\langle x\rangle} / I \mathbb{C}[x]{\langle x\rangle} \subset \mathbb{C}{x} / I \mathbb{C}{x} \subset \mathbb{C}[[x]] / I \mathbb{C}[[x]]
$$
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Squarefree Factorizatio
Let $K$ be a field of characteristic $p$. In this chapter we will explain how to decompose a univariate polynomial $g \in K[x]$ as a product $g=\prod_{i=1}^k g_{(i)}^i$ of powers of pairwise coprime ${ }^1$ squarefree factors $g_{(1)}, \ldots, g_{(k)}$.
Definition B.1.1. (1) $g \in K[x]$ is called squarefree if $g$ is not constant and if it has no non-constant multiple factor, that is, each irreducible factor of $g$ appears with multiplicity 1 .
(2) Let $g \in K[x], g=\prod_{i=1}^k g_{(i)}^i$ is called the squarefree factorization of $g$ if $g_{(1)}, \ldots, g_{(k)}$ are squarefree, and those $g_{(i)}$, which are non-constant are pairwise coprime.
It follows from the existence and uniqueness of the factorization of $f$ into irreducible factors that the squarefree factorization exists and the squarefree factors are unique up to multiplication by a non-zero constant.
Example B.1.2. Let $g=x^2(x+1)^2(x+3)^4\left(x^2+1\right)^5 \in \mathbb{Q}[x]$ then $g_{(1)}=g_{(3)}=1$ and $g_{(2)}=x(x+1), g_{(4)}=x+3, g_{(5)}=x^2+1$.
As the case of char $K=0$ is an easy exercise using some of the same ideas as in the following proposition we concentrate from this point on on the case of fields of positive characteristic.
Proposition B.1.3. Let $f \in \mathbb{F}_q[x]$ be non-constant with $q=p^r$ and $p$ prime. Then $f$ is squarefree if and only if $f^{\prime} \neq 0$ and $\operatorname{gcd}\left(f, f^{\prime}\right)=1$.
Proof. If $f^{\prime}=0$ then $f=\sum_{j=0}^s a_j x^{p j}$. Since $p$-th roots exist in $\mathbb{F}_q$, i.e. $a_j=b_j^p$ for suitable $b_j \in \mathbb{F}_q$, this implies $f=\sum b_j^p x^{p j}=\left(\sum b_j x^j\right)^p$.
Let $f^{\prime} \neq 0$ and $h$ an irreducible polynomial with $h \mid \operatorname{gcd}\left(f, f^{\prime}\right)$. Then $f=$ $h \cdot g$ and $h \mid\left(f^{\prime}=h^{\prime} g+h g^{\prime}\right)$. If $h^{\prime}=0$ then $h$ is a $p$-th power and hence $f$ is not squarefree. Otherwise $h \mid\left(h^{\prime} g\right)$ and, since $h$ is irreducible, $h \mid g$. This implies $h^2 \mid f$ and again $f$ is not squarefree. Conversely, if $f=h^2 \cdot g$ then $h \mid f^{\prime}$ and $\operatorname{gcd}\left(f, f^{\prime}\right) \neq 1$
交换代数代写
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Singularities
在a .8节中,我们已经将奇异点定义为局部环$\mathcal{O}{X, p}$不正则的变种$X$的点$p$。特别地,“奇异”是一个局部概念,到目前为止,“局部”主要是根据Zariski拓扑考虑的。然而,由于Zariski拓扑是如此粗糙,Zariski拓扑中的小邻域可能不够局部。如果我们的域$K$是$\mathbb{C}$,那么我们可以使用欧几里得拓扑,我们可以在任意小的$\varepsilon$ -邻域中研究奇异点$p$(正如我们在A.8节末尾所做的那样)。但是我们也必须允许更多的函数,因为$p$(定义a .6.1意义上的)上的正则函数总是定义在$p$的Zariski邻居中。因此,我们不再考虑$p$上正则函数的胚芽,而是考虑$p=\left(p_1, \ldots, p_n\right) \in \mathbb{C}$上复解析函数的胚芽。这些函数的环同构于收敛幂级数$\mathbb{C}\left{x_1-p_1, \ldots, x_n-p_n\right}$的环,它是一个局部环,包含正则函数在$p$的环$\mathbb{C}\left[x_1, \ldots, x_n\right]{\left\langle x_1-p_1, \ldots, x_n-p_n\right\rangle}$。
对于任意(代数闭)域$K$,我们不能讨论收敛性,然后用形式幂级数环$K\left[\left[x_1-p_1, \ldots, x_n-p_n\right]\right]$代替$\mathbb{C}\left{x_1-p_1, \ldots, x_n-p_n\right}$。不幸的是,对于正式的幂级数,我们不能进入$p$的邻域;这里没有定义正式的幂级数。因此,在讨论奇点几何时,我们考虑$K=\mathbb{C}$和收敛幂级数。通常,对收敛幂级数成立的代数命题对形式幂级数也成立(但更容易证明,因为我们不需要考虑收敛性)。我们只是顺便提一下,对于一般领域的变种,有另一种“局部”的概念,它具有可变邻域和Henselian环(参见[143]),它是$\mathbb{C}$上收敛幂级数的几何代换。
对于$I \subset \mathbb{C}[x], x=\left(x_1, \ldots, x_n\right)$,一个理想,我们有环的内含物
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\mathbb{C}[x] / I \subset \mathbb{C}[x]{\langle x\rangle} / I \mathbb{C}[x]{\langle x\rangle} \subset \mathbb{C}{x} / I \mathbb{C}{x} \subset \mathbb{C}[[x]] / I \mathbb{C}[[x]]
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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Squarefree Factorizatio
让$K$成为一个有特色的领域$p$。在本章中,我们将解释如何将单变量多项式$g \in K[x]$分解为成对互素数${ }^1$无平方因子$g_{(1)}, \ldots, g_{(k)}$幂的乘积$g=\prod_{i=1}^k g_{(i)}^i$。
B.1.1.定义(1)当$g$不为常数且不存在非常数多因子时,称$g \in K[x]$为无平方因子,即$g$的每个不可约因子均以1的倍数出现。
(2)设$g \in K[x], g=\prod_{i=1}^k g_{(i)}^i$为$g$的无平方分解,如果$g_{(1)}, \ldots, g_{(k)}$为无平方分解,非常数的$g_{(i)}$为成对互素数分解。
由$f$因子分解为不可约因子的存在唯一性可知,无平方因子分解存在且无平方因子在乘以一个非零常数之前是唯一的。
例B.1.2。让$g=x^2(x+1)^2(x+3)^4\left(x^2+1\right)^5 \in \mathbb{Q}[x]$然后$g_{(1)}=g_{(3)}=1$和$g_{(2)}=x(x+1), g_{(4)}=x+3, g_{(5)}=x^2+1$。
由于char $K=0$的情况是一个简单的练习,使用了与下面命题相同的一些思想,因此我们从这一点开始集中讨论具有正特征的字段的情况。
提案B.1.3。设$f \in \mathbb{F}_q[x]$是非常数,有$q=p^r$和$p$撇。那么$f$是无平方的当且仅当$f^{\prime} \neq 0$和$\operatorname{gcd}\left(f, f^{\prime}\right)=1$。
证明。如果$f^{\prime}=0$那么$f=\sum_{j=0}^s a_j x^{p j}$。由于$p$ -根存在于$\mathbb{F}_q$中,即$a_j=b_j^p$对应于合适的$b_j \in \mathbb{F}_q$,这意味着$f=\sum b_j^p x^{p j}=\left(\sum b_j x^j\right)^p$。
设$f^{\prime} \neq 0$和$h$为不可约多项式,$h \mid \operatorname{gcd}\left(f, f^{\prime}\right)$为不可约多项式。然后是$f=$$h \cdot g$和$h \mid\left(f^{\prime}=h^{\prime} g+h g^{\prime}\right)$。如果$h^{\prime}=0$,那么$h$是$p$次幂,因此$f$不是无平方的。否则是$h \mid\left(h^{\prime} g\right)$,因为$h$不可约,所以是$h \mid g$。这意味着$h^2 \mid f$和$f$不是无平方的。反之,如果$f=h^2 \cdot g$则$h \mid f^{\prime}$和 $\operatorname{gcd}\left(f, f^{\prime}\right) \neq 1$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。