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# 数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|Multilinear Symmetric Functionals

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## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Multilinear Symmetric Functionals

In an analogous way we introduce the notion of symmetric functionals. An $m$-linear functional defined on a space $V$ is said to be symmetric, if switching any two indices with each other does not change its value, i.e.,
$$a\left(\ldots, v_i, \ldots, v_j, \ldots\right)=a\left(\ldots, v_j, \ldots, v_i, \ldots\right)$$

The symmetric functionals form another subspace of $m$-linear functionals, denoted by $M_m^s(V)$. In the case of a finite-dimensional space $\operatorname{dim} V=n$, one can show (comp. Exercise 2.13.1) that
$$\operatorname{dim} M_m^s(V)=C_{n+m-1}^m=\left(\begin{array}{c} n+m-1 \ m \end{array}\right)$$
The rest of this section is devoted to determinants. From now on, we will consider finite-dimensional space only. In the case of finite-dimensional spaces, the multilinear functionals are frequently called multilinear forms.

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Determinant of a Linear Transformation

Let $\operatorname{dim} X=n$. Let $A: X \rightarrow X$ be a linear map from the space $X$ into itself. Let $a\left(v_1, \ldots, v_n\right)$ denote any nontrivial $n$-linear functional defined on $X$. Notice that the space $M_n^a(X)$ is one-dimensional which implies that $a$ is unique up to a multiplicative constant. Consider the composition of map $A$ and functional $a$,
$$(a \bar{\circ} A)\left(v_1, \ldots, v_n\right)=(a \circ(A \times \ldots \times A))\left(v_1, \ldots, v_n\right)=a\left(A v_1, \ldots, A v_n\right)$$
The composition is also an $n$-linear functional on $V$ and, due to the fact that $\operatorname{dim} M_n^a(V)=1$, it must simply be a product of the original functional $a$ with a number. We will identify the number as the determinant of $\operatorname{map} A, \operatorname{denoted} \operatorname{det} A$,
$$a \bar{\circ} A=\operatorname{det} A a$$
Notice that the definition does not depend upon the choice of functional $a$. The definition implies immediately the famous result of Cauchy.

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Multilinear Symmetric Functionals

$$a\left(\ldots, v_i, \ldots, v_j, \ldots\right)=a\left(\ldots, v_j, \ldots, v_i, \ldots\right)$$

$$\operatorname{dim} M_m^s(V)=C_{n+m-1}^m=\left(\begin{array}{c} n+m-1 \ m \end{array}\right)$$

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Determinant of a Linear Transformation

$$(a \bar{\circ} A)\left(v_1, \ldots, v_n\right)=(a \circ(A \times \ldots \times A))\left(v_1, \ldots, v_n\right)=a\left(A v_1, \ldots, A v_n\right)$$

$$a \bar{\circ} A=\operatorname{det} A a$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。