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数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|Topological Subspaces and Product Topologies

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数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Topological Subspaces and Product Topologies

In this section we shall complete the fundamental topological notions introduced in the previous section. In particular, we demonstrate how a topology on $X$ induces a topology on every subset of $X$ and how two topologies, one on $X$, another on $Y$, generate a topology on the Cartesian product $X \times Y$.

Topological Subspaces. Let $X$ be a topological space and $Y \subset X$ be an arbitrary subset of $X$. Set $Y$ can be supplied with a natural topology in which neighborhoods are simply the intersections of neighborhoods in $X$ with set $Y$. More precisely, for every $x \in Y$ we introduce the following base of neighborhoods
$$\mathcal{B}_x^Y=\left{B \cap Y: B \in \mathcal{B}_x\right}$$
where $\mathcal{B}_x$ is a base of neighborhoods of $x \in X$. It is easily verified that $\mathcal{B}_x^Y$ satisfies the axioms of a base of neighborhoods. With such an introduced topology set $Y$ is called the topological subspace of $X$.

PROPOSITION 4.2.1
Let $Y$ be a topological subspace of $X$ and $E \subset Y$ a subset of $Y$. Then
$$Y \bar{E}=\bar{E} \cap Y$$
where ${ }^Y \bar{E}$ denotes closure of $E$ in the topological subspace $Y$.
PROOF
“C.” Let $x \in^Y \bar{E}$. Then either $x \in E$ or $x$ is an accumulation point of $E$ from $Y-E$. In the first case $x$ obviously belongs to the right-hand side. In the second case we have
$$B^Y \cap E-{x} \neq \emptyset \text { for every } B^Y \in \mathcal{B}_x^Y$$
or, equivalently,
$B \cap Y \cap E-{x} \neq \emptyset \quad$ for every $B \in \mathcal{B}_x$
This implies that
$$B \cap E-{x} \neq \emptyset \quad \text { for every } B \in \mathcal{B}_x$$
i.e., $x$ is an accumulation point of $E$ in $X$.

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Product Topologies

Product Topologies. Let $X$ and $Y$ be two topological spaces. Introducing on the Cartesian product $X \times Y$ the following bases of neighborhoods,
$$\mathcal{B}_{(x, y)}=\left{C=A \times B: A \in \mathcal{B}_x, B \in \mathcal{B}_y\right}$$
where $\mathcal{B}_x$ and $\mathcal{B}_y$ denote bases of neighborhoods of $x$ in $X$ and $y$ in $Y$, respectively, we generate on $X \times Y$ a topology called the product topology of topologies on $X$ and $Y$.

Of course, the Cartesian product $X \times Y$, as any set, can be supplied with a different topology, but the product topology is the most natural one and we shall always assume that $X \times Y$ is supplied with this topology, unless explicitly stated otherwise.
We leave as an exercise proof of the following simple result.
PROPOSITION 4.2.3
Let $X$ and $Y$ be two topological spaces. The following hold:
(i) $A$ is open in $X$ and $B$ is open in $Y \Leftrightarrow A \times B$ is open in $X \times Y$.
(ii) $A$ is closed in $X$ and $B$ is closed in $Y \Leftrightarrow A \times B$ is closed in $X \times Y$.
The notion of the product topology can be easily generalized to the case of a Cartesian product of more than two spaces.

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Topological Subspaces and Product Topologies

$$\mathcal{B}_x^Y=\left{B \cap Y: B \in \mathcal{B}_x\right}$$

$$Y \bar{E}=\bar{E} \cap Y$$

“c。”让 $x \in^Y \bar{E}$． 然后要么 $x \in E$ 或 $x$ 是一个积累点吗 $E$ 从 $Y-E$． 在第一种情况下 $x$ 显然是在右边。在第二种情况下
$$B^Y \cap E-{x} \neq \emptyset \text { for every } B^Y \in \mathcal{B}_x^Y$$

$B \cap Y \cap E-{x} \neq \emptyset \quad$ 对于每一个 $B \in \mathcal{B}_x$

$$B \cap E-{x} \neq \emptyset \quad \text { for every } B \in \mathcal{B}_x$$

数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Product Topologies

$$\mathcal{B}_{(x, y)}=\left{C=A \times B: A \in \mathcal{B}_x, B \in \mathcal{B}_y\right}$$

(i) $A$在$X$中打开，$B$在$Y \Leftrightarrow A \times B$中打开，$X \times Y$在中打开。
(ii) $A$在$X$关闭，$B$在$Y \Leftrightarrow A \times B$在$X \times Y$关闭。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。