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# 数学代写|信息论代写Information Theory代考|AEP FOR CONTINUOUS RANDOM VARIABLES

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## 数学代写|信息论代写Information Theory代考|AEP FOR CONTINUOUS RANDOM VARIABLES

One of the important roles of the entropy for discrete random variables is in the AEP, which states that for a sequence of i.i.d. random variables, $p\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)$ is close to $2^{-n H(X)}$ with high probability. This enables us to define the typical set and characterize the behavior of typical sequences.
We can do the same for a continuous random variable.
Theorem 8.2.1 Let $X_1, X_2, \ldots, X_n$ be a sequence of random variables drawn i.i.d. according to the density $f(x)$. Then
$$-\frac{1}{n} \log f\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right) \rightarrow E[-\log f(X)]=h(X) \text { in probability. }$$
Proof: The proof follows directly from the weak law of large numbers.
This leads to the following definition of the typical set.
Definition For $\epsilon>0$ and any $n$, we define the typical set $A_\epsilon^{(n)}$ with respect to $f(x)$ as follows:
$$A_\epsilon^{(n)}=\left{\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) \in S^n:\left|-\frac{1}{n} \log f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)-h(X)\right| \leq \epsilon\right},$$
where $f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)=\prod_{i=1}^n f\left(x_i\right)$.
The properties of the typical set for continuous random variables parallel those for discrete random variables. The analog of the cardinality of the typical set for the discrete case is the volume of the typical set for continuous random variables.

## 数学代写|信息论代写Information Theory代考|PROPERTIES OF CHANNEL CAPACITY

Consider a random variable $X$ with density $f(x)$ illustrated in Figure 8.1. Suppose that we divide the range of $X$ into bins of length $\Delta$. Let us assume that the density is continuous within the bins. Then, by the mean value theorem, there exists a value $x_i$ within each bin such that
$$f\left(x_i\right) \Delta=\int_{i \Delta}^{(i+1) \Delta} f(x) d x .$$
Consider the quantized random variable $X^{\Delta}$, which is defined by
$$X^{\Delta}=x_i \quad \text { if } i \Delta \leq X<(i+1) \Delta .$$

Then the probability that $X^{\Delta}=x_i$ is
$$p_i=\int_{i \Delta}^{(i+1) \Delta} f(x) d x=f\left(x_i\right) \Delta .$$
The entropy of the quantized version is
\begin{aligned} H\left(X^{\Delta}\right) & =-\sum_{-\infty}^{\infty} p_i \log p_i \ & =-\sum_{-\infty}^{\infty} f\left(x_i\right) \Delta \log \left(f\left(x_i\right) \Delta\right) \ & =-\sum \Delta f\left(x_i\right) \log f\left(x_i\right)-\sum f\left(x_i\right) \Delta \log \Delta \ & =-\sum \Delta f\left(x_i\right) \log f\left(x_i\right)-\log \Delta \end{aligned}
since $\sum f\left(x_i\right) \Delta=\int f(x)=1$. If $f(x) \log f(x)$ is Riemann integrable (a condition to ensure that the limit is well defined [556]), the first term in (8.29) approaches the integral of $-f(x) \log f(x)$ as $\Delta \rightarrow 0$ by definition of Riemann integrability. This proves the following.

## 数学代写|信息论代写Information Theory代考|AEP FOR CONTINUOUS RANDOM VARIABLES

$$-\frac{1}{n} \log f\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right) \rightarrow E[-\log f(X)]=h(X) \text { in probability. }$$

$$A_\epsilon^{(n)}=\left{\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) \in S^n:\left|-\frac{1}{n} \log f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)-h(X)\right| \leq \epsilon\right},$$

## 数学代写|信息论代写Information Theory代考|PROPERTIES OF CHANNEL CAPACITY

$$f\left(x_i\right) \Delta=\int_{i \Delta}^{(i+1) \Delta} f(x) d x .$$

$$X^{\Delta}=x_i \quad \text { if } i \Delta \leq X<(i+1) \Delta .$$

$$p_i=\int_{i \Delta}^{(i+1) \Delta} f(x) d x=f\left(x_i\right) \Delta .$$

\begin{aligned} H\left(X^{\Delta}\right) & =-\sum_{-\infty}^{\infty} p_i \log p_i \ & =-\sum_{-\infty}^{\infty} f\left(x_i\right) \Delta \log \left(f\left(x_i\right) \Delta\right) \ & =-\sum \Delta f\left(x_i\right) \log f\left(x_i\right)-\sum f\left(x_i\right) \Delta \log \Delta \ & =-\sum \Delta f\left(x_i\right) \log f\left(x_i\right)-\log \Delta \end{aligned}

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。