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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Linear-Conic Problems
An important special case of conic programming, called linear-conic problem, arises when $\operatorname{dom}(f)$ is an affine set and $f$ is linear over $\operatorname{dom}(f)$, i.e.,
$$
f(x)= \begin{cases}c^{\prime} x & \text { if } x \in b+S, \ \infty & \text { if } x \notin b+S\end{cases}
$$
where $b$ and $c$ are given vectors, and $S$ is a subspace. Then the primal problem can be written as
$$
\begin{aligned}
& \text { minimize } c^{\prime} x \
& \text { subject to } x-b \in S, \quad x \in C
\end{aligned}
$$
see Fig. 1.2.1.
To derive the dual problem, we note that
$$
\begin{aligned}
f^{\star}(\lambda) & =\sup {x-b \in S}(\lambda-c)^{\prime} x \ & =\sup {y \in S}(\lambda-c)^{\prime}(y+b) \
& = \begin{cases}(\lambda-c)^{\prime} b & \text { if } \lambda-c \in S^{\perp}, \
\infty & \text { if } \lambda-c \notin S^{\perp} .\end{cases}
\end{aligned}
$$
It can be seen that the dual problem $\min _{\lambda \in \dot{C}} f^*(\lambda)$ [cf. Eq. (1.18)], after discarding the superfluous term $c^{\prime} b$ from the cost, can be written as
$$
\begin{aligned}
& \operatorname{minimize} b^{\prime} \lambda \
& \text { subject to } \lambda-c \in S^{\perp}, \quad \lambda \in \hat{C},
\end{aligned}
$$
where $\hat{C}$ is the dual cone:
$$
\hat{C}=\left{\lambda \mid \lambda^{\prime} x \geq 0, \forall x \in C\right}
$$
By specializing the conditions of the Conic Duality Theorem (Prop. 1.2.2) to the linear-conic duality context, we obtain the following.
数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Special Forms of Linear-Conic Problems
The primal and dual linear-conic problems (1.19) and (1.20) have been placed in an elegant symmetric form. There are also other useful formats that parallel and generalize similar formats in linear programming. For example, we have the following dual problem pairs:
$$
\begin{aligned}
& \min {A x=b, x \in C^{\prime} x} c^{\prime} x \Longleftrightarrow \max {c-A^{\prime} \lambda \in C} b^{\prime} \lambda, \
& \min {A x-b \in C} c^{\prime} x \Longleftrightarrow \max {A^{\prime} \lambda=c, \lambda \in C} b^{\prime} \lambda,
\end{aligned}
$$
where $A$ is an $m \times n$ matrix, and $x \in \Re^n, \lambda \in \Re^m, c \in \Re^n, b \in \Re^m$.
To verify the duality relation (1.21), let $\bar{x}$ be any vector such that $A \bar{x}=b$, and let us write the primal problem on the left in the primal conic form (1.19) as
$$
\begin{aligned}
& \text { minimize } c^{\prime} x \
& \text { subject to } x-\bar{x} \in \mathrm{N}(A), \quad x \in C,
\end{aligned}
$$
where $\mathrm{N}(A)$ is the nullspace of $A$. The corresponding dual conic problem (1.20) is to solve for $\mu$ the problem
$$
\begin{aligned}
& \text { minimize } \bar{x}^{\prime} \mu \
& \text { subject to } \mu-c \in \mathrm{N}(A)^{\perp}, \quad \mu \in C \text {. }
\end{aligned}
$$
Since $\mathrm{N}(A)^{\perp}$ is equal to $\mathrm{Ra}\left(A^{\prime}\right)$, the range of $A^{\prime}$, the constraints of problem (1.23) can be equivalently written as $c-\mu \epsilon-\operatorname{Ra}\left(A^{\prime}\right)=\operatorname{Ra}\left(A^{\prime}\right), \mu \in \hat{C}$, or
$$
c-\mu=A^{\prime} \lambda_{,} \quad \mu \in \tilde{C},
$$
for some $\lambda \in \Re^m$. Making the change of variables $\mu=c-A^{\prime} \lambda$, the dual problem (1.23) can be written as
$$
\begin{array}{ll}
\operatorname{minimize} & \bar{x}^{\prime}\left(c-A^{\prime} \lambda\right) \
\text { subject to } & c-A^{\prime} \lambda \in \hat{C} .
\end{array}
$$
By discarding the constant $\bar{x}^{\prime} c$ from the cost function, using the fact $A \bar{x}=$ $b$, and changing from minimization to maximization, we see that this dual problem is equivalent to the one in the right-hand side of the duality pair (1.21). The duality relation (1.22) is proved similarly.
We next discuss two important special cases of conic programming: second order cone programming and semidefinite programming. These problems involve two different special cones, and an explicit definition of the affine set constraint. They arise in a variety of applications, and their computational difficulty in practice tends to lie between that of linear and quadratic programming on one hand, and general convex programming on the other hand.
凸优化代写
数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Linear-Conic Problems
二次规划的一个重要特例，称为线性-二次问题，当$\operatorname{dom}(f)$是仿射集且$f$对$\operatorname{dom}(f)$是线性的，即:
$$
f(x)= \begin{cases}c^{\prime} x & \text { if } x \in b+S, \ \infty & \text { if } x \notin b+S\end{cases}
$$
其中$b$和$c$是给定的向量，$S$是一个子空间。那么原始问题可以写成
$$
\begin{aligned}
& \text { minimize } c^{\prime} x \
& \text { subject to } x-b \in S, \quad x \in C
\end{aligned}
$$
见图1.2.1。
为了导出对偶问题，我们注意到
$$
\begin{aligned}
f^{\star}(\lambda) & =\sup {x-b \in S}(\lambda-c)^{\prime} x \ & =\sup {y \in S}(\lambda-c)^{\prime}(y+b) \
& = \begin{cases}(\lambda-c)^{\prime} b & \text { if } \lambda-c \in S^{\perp}, \
\infty & \text { if } \lambda-c \notin S^{\perp} .\end{cases}
\end{aligned}
$$
可以看出，对偶问题$\min _{\lambda \in \dot{C}} f^*(\lambda)$[参见式(1.18)]，从成本中剔除多余项$c^{\prime} b$后，可以写成
$$
\begin{aligned}
& \operatorname{minimize} b^{\prime} \lambda \
& \text { subject to } \lambda-c \in S^{\perp}, \quad \lambda \in \hat{C},
\end{aligned}
$$
式中$\hat{C}$为双锥:
$$
\hat{C}=\left{\lambda \mid \lambda^{\prime} x \geq 0, \forall x \in C\right}
$$
通过将二次曲线对偶定理(Prop. 1.2.2)的条件专门化到线性-二次曲线对偶上下文中，我们得到如下结果。
数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Special Forms of Linear-Conic Problems
原始的和对偶的线性-二次问题(1.19)和(1.20)已经被放置在一个优雅的对称形式。还有其他一些有用的格式，可以在线性规划中并行和推广类似的格式。例如，我们有以下对偶问题对:
$$
\begin{aligned}
& \min {A x=b, x \in C^{\prime} x} c^{\prime} x \Longleftrightarrow \max {c-A^{\prime} \lambda \in C} b^{\prime} \lambda, \
& \min {A x-b \in C} c^{\prime} x \Longleftrightarrow \max {A^{\prime} \lambda=c, \lambda \in C} b^{\prime} \lambda,
\end{aligned}
$$
其中$A$为$m \times n$矩阵，$x \in \Re^n, \lambda \in \Re^m, c \in \Re^n, b \in \Re^m$。
为了验证对偶关系(1.21)，设$\bar{x}$为满足$A \bar{x}=b$的任意向量，并将左边的原始问题以原始二次形式(1.19)表示为
$$
\begin{aligned}
& \text { minimize } c^{\prime} x \
& \text { subject to } x-\bar{x} \in \mathrm{N}(A), \quad x \in C,
\end{aligned}
$$
其中$\mathrm{N}(A)$为$A$的零空间。对应的对偶二次问题(1.20)是求解为$\mu$的问题
$$
\begin{aligned}
& \text { minimize } \bar{x}^{\prime} \mu \
& \text { subject to } \mu-c \in \mathrm{N}(A)^{\perp}, \quad \mu \in C \text {. }
\end{aligned}
$$
因为$\mathrm{N}(A)^{\perp}$等于$\mathrm{Ra}\left(A^{\prime}\right)$, $A^{\prime}$的取值范围，所以问题(1.23)的约束可以等价地写成$c-\mu \epsilon-\operatorname{Ra}\left(A^{\prime}\right)=\operatorname{Ra}\left(A^{\prime}\right), \mu \in \hat{C}$，或
$$
c-\mu=A^{\prime} \lambda_{,} \quad \mu \in \tilde{C},
$$
对一些人来说$\lambda \in \Re^m$。变换变量$\mu=c-A^{\prime} \lambda$，对偶问题(1.23)可以写成
$$
\begin{array}{ll}
\operatorname{minimize} & \bar{x}^{\prime}\left(c-A^{\prime} \lambda\right) \
\text { subject to } & c-A^{\prime} \lambda \in \hat{C} .
\end{array}
$$
通过从成本函数中丢弃常数$\bar{x}^{\prime} c$，使用事实$A \bar{x}=$$b$，并将最小化改为最大化，我们看到这个对偶问题等同于对偶对右侧的问题(1.21)。对偶关系(1.22)也作了类似的证明。
接下来讨论了二次规划的两个重要特例:二阶锥规划和半定规划。这些问题涉及两个不同的特殊锥，以及仿射集约束的显式定义。它们有各种各样的应用，其实际计算难度往往介于线性规划和二次规划与一般凸规划之间。
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微观经济学代写
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线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。