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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Partial Orders and Equivalence Relations

如果你也在 怎样代写组合学Combinatorics 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。组合学Combinatorics是数学的一个领域,主要涉及计数(作为获得结果的手段和目的)以及有限结构的某些属性。主要涉及计数,作为获得结果的手段和目的,以及有限结构的某些属性。它与数学的许多其他领域密切相关,有许多应用,从逻辑学到统计物理学,从进化生物学到计算机科学。

组合学Combinatorics因其解决的问题的广泛性而闻名。组合问题出现在纯数学的许多领域,特别是在代数、概率论、拓扑学和几何学中,以及在其许多应用领域。许多组合问题在历史上被孤立地考虑,对某个数学背景下出现的问题给出一个临时性的解决方案。然而,在二十世纪后期,强大而普遍的理论方法被开发出来,使组合学本身成为一个独立的数学分支。组合学最古老和最容易理解的部分之一是图论,它本身与其他领域有许多自然联系。在计算机科学中,组合学经常被用来获得算法分析中的公式和估计。

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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Partial Orders and Equivalence Relations

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Partial Orders and Equivalence Relations

In this chapter we have defined various “natural” orders on the sets of permutations, combinations, and $r$-combinations of a finite set, namely, the orders determined by the generating schemes. These orders are “total orders” in the sense that there is a first object, a second object, a third object, …, a last object. There is a more general notion of order, called “partial order,” which is extremely important and useful in mathematics. Perhaps the two partial orders which are not total orders that are most familiar are those defined by containment of one set in another and divisibility of one integer by another. These are partial orders in the sense that, given any two sets, neither may be a subset of the other, and given any two integers, neither may be divisible by the other.

In order to give a precise definition of a partial order, it is important to know what is meant in mathematics by a relation. Let $X$ be a set. A relation $R$ on $X$ is a “property” that may or may not hold between any two given elements of $X$. More formally, a relation on $X$ is a subset $R$ of the set $X \times X$ of ordered pairs of elements of $X$. We write $a R b$, provided that the ordered pair $(a, b)$ belongs to $R$; we also write $a \not R b$ whenever $(a, b)$ is not in $R$.

Example. Let $X={1,2,3,4,5,6}$. Write $a \mid b$ to mean that $a$ is a divisor of $b$ (equivalently, $b$ is divisible by $a$ ). This defines a partial order on $X$ and we have, for example, $2 \mid 6$ and $3 \not 5$.

Now consider the collection $\mathcal{P}(X)$ of all subsets (i.e., combinations) of $X$. For $A$ and $B$ in $\mathcal{P}(X)$, we write as usual $A \subseteq B$, read $A$ is contained in $B$, provided that every element of $A$ is also an element of $B$. This defines a relation on $\mathcal{P}(X)$ and we have, for example, ${1} \subseteq{1,3}$ and ${1,2} \nsubseteq{2,3}$.

The following are special properties that a relation $R$ on a set $X$ may have:

  1. $R$ is reflexive, provided that $x R x$ for all $x$ in $X$.
  2. $R$ is irreflexive, provided that $x \not R x$ for all $x$ in $X$.
  3. $R$ is symmetric, provided that, for all $x$ and $y$ in $X$, whenever we have $x R y$ we also have $y R x$.
  4. $R$ is antisymmetric, provided that, for all $x$ and $y$ in $X$ with $x \neq y$, whenever we have $x R y$, we also have $y \not R x$. Equivalently, for all $x$ and $y$ in $X, x R y$ and $y R x$ together imply that $x=y$.
  5. $R$ is transitive, provided that, for all $x, y, z$ in $X$, whenever we have $x R y$ and $y R z$, we also have $x R z$.

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Pascal’s Formula

The binomial coefficients $\left(\begin{array}{l}n \ k\end{array}\right)$ have been defined in Section 3.3 for all nonnegative integers $k$ and $n$. Recall that $\left(\begin{array}{l}n \ k\end{array}\right)=0$ if $k>n$ and that $\left(\begin{array}{l}n \ 0\end{array}\right)=1$ for all $n$. If $n$ is positive and $1 \leq k \leq n$, then
$$
\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !}=\frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{k(k-1) \cdots 1} .
$$
In Section 3.3, we noted that
$$
\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
n \
n-k
\end{array}\right)
$$
This relation is valid for all integers $k$ and $n$ with $0 \leq k \leq n$.

Theorem 5.1.1 (Pascal’s formula) For all integers $n$ and $k$ with $1 \leq k \leq n-1$,
$$
\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
n-1 \
k
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}
n-1 \
k-1
\end{array}\right) .
$$
Proof. One way to prove this identity is to substitute the values of the binomial coefficients and then check that both sides are equal. We leave this straightforward verification to the reader.

A combinatorial proof can be obtained as follows: Let $S$ be a set of $n$ elements. We distinguish one of the elements of $S$ and denote it by $x$. We then partition the set $X$ of $k$-combinations of $S$ into two parts, $A$ and $B$. In $A$ we put all those $k$-combinations which do not contain $x$. In $B$ we put all the $k$-combinations which do contain $x$. The size of $X$ is $|X|=\left(\begin{array}{l}n \ k\end{array}\right)$; hence, by the addition principle,
$$
\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right)=|A|+|B|
$$
The $k$-combinations in $A$ are exactly the $k$-combinations of the set $S-{x}$ of $n-1$ elements; thus, the size of $A$ is
$$
|A|=\left(\begin{array}{c}
n-1 \
k
\end{array}\right)
$$
A $k$-combination in $B$ is obtained by adjoining the element $x$ to a $(k-1)$-combination of $S-{x}$. Hence, the size of $B$ satisfies
$$
|B|=\left(\begin{array}{l}
n-1 \
k-1
\end{array}\right)
$$
Combining these facts, we obtain
$$
\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
n-1 \
k
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}
n-1 \
k-1
\end{array}\right)
$$

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Partial Orders and Equivalence Relations

组合学代写

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Partial Orders and Equivalence Relations

在本章中,我们定义了有限集合的排列、组合和$r$ -组合集合上的各种“自然”阶,即由生成方案决定的阶。这些顺序是“总顺序”,因为有第一个对象,第二个对象,第三个对象,…,最后一个对象。有一个更一般的顺序概念,称为“偏序”,它在数学中非常重要和有用。也许我们最熟悉的不是全序的两个偏序是由一个集合包含在另一个集合中以及一个整数可被另一个整数整除所定义的。它们是偏序的意思是,给定任意两个集合,都不能是另一个集合的子集,并且给定任意两个整数,都不能被另一个整除。

为了给出偏序的精确定义,了解数学中关系的含义是很重要的。设$X$为集合。$X$上的关系$R$是一个“属性”,它可以在$X$的任意两个给定元素之间存在,也可以不存在。更正式地说,$X$上的关系是$X$的有序元素对集合$X \times X$的一个子集$R$。我们写$a R b$,假设有序对$(a, b)$属于$R$;当$(a, b)$不在$R$中时,我们也写$a \not R b$。

示例:让$X={1,2,3,4,5,6}$。写$a \mid b$表示$a$是$b$的约数(同样,$b$可以被$a$整除)。这在$X$上定义了一个偏序,例如,我们有$2 \mid 6$和$3 \not 5$。

现在考虑$X$的所有子集(即组合)的集合$\mathcal{P}(X)$。对于$\mathcal{P}(X)$中的$A$和$B$,我们像往常一样写$A \subseteq B$,读取$A$包含在$B$中,前提是$A$的每个元素也是$B$的一个元素。这在$\mathcal{P}(X)$上定义了一个关系,例如,我们有${1} \subseteq{1,3}$和${1,2} \nsubseteq{2,3}$。

以下是集合$X$上的关系$R$可能具有的特殊属性:

$R$ 是自反的,前提是$x R x$适用于$X$中的所有$x$。

$R$ 是不自反的,前提是$x \not R x$对于$X$中的所有$x$。

$R$ 是对称的,只要对于$X$中的所有$x$和$y$,只要我们有$x R y$,我们就有$y R x$。

$R$ 是反对称的,只要,对于$X$和$x \neq y$中的所有$x$和$y$,只要我们有$x R y$,我们也有$y \not R x$。同样,对于$X, x R y$和$y R x$中的所有$x$和$y$,一起意味着$x=y$。

$R$ 是可传递的,前提是,对于$X$中的所有$x, y, z$,只要我们有$x R y$和$y R z$,我们也有$x R z$。

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Pascal’s Formula

二项式系数$\left(\begin{array}{l}n \ k\end{array}\right)$已经在3.3节中定义了所有非负整数$k$和$n$。回想一下,$\left(\begin{array}{l}n \ k\end{array}\right)=0$表示$k>n$, $\left(\begin{array}{l}n \ 0\end{array}\right)=1$表示所有$n$。如果$n$是正的,并且$1 \leq k \leq n$,则
$$
\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !}=\frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{k(k-1) \cdots 1} .
$$
在第3.3节中,我们注意到
$$
\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
n \
n-k
\end{array}\right)
$$
此关系对所有整数$k$和$n$以及$0 \leq k \leq n$都有效。

定理5.1.1 (Pascal公式)对于所有带$1 \leq k \leq n-1$的整数$n$和$k$,
$$
\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
n-1 \
k
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}
n-1 \
k-1
\end{array}\right) .
$$
证明。证明这个恒等式的一种方法是代入二项式系数的值然后检查两边是否相等。我们把这种直接的验证留给读者。

组合证明如下:设$S$为$n$个元素的集合。我们区分$S$的一个元素并用$x$表示它。然后,我们将$S$的$k$ -组合的集合$X$划分为两个部分,$A$和$B$。在$A$中,我们放入所有不包含$x$的$k$ -组合。在$B$中,我们放入所有包含$x$的$k$ -组合。$X$的大小为$|X|=\left(\begin{array}{l}n \ k\end{array}\right)$;因此,根据加法原理,
$$
\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right)=|A|+|B|
$$
$A$中的$k$ -组合就是$n-1$元素集合$S-{x}$的$k$ -组合;因此,$A$的大小为
$$
|A|=\left(\begin{array}{c}
n-1 \
k
\end{array}\right)
$$
通过将元素$x$连接到元素$S-{x}$的$(k-1)$ -组合,可以获得$B$中的$k$ -组合。因此,$B$的大小满足
$$
|B|=\left(\begin{array}{l}
n-1 \
k-1
\end{array}\right)
$$
结合这些事实,我们得到
$$
\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
n-1 \
k
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}
n-1 \
k-1
\end{array}\right)
$$

数学代写|组合学代写Combinatorics代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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