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# 数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Some Number Sequences

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## 数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Some Number Sequences

Let
$$h_0, h_1, h_2, \ldots, h_n, \ldots$$
denote a sequence of numbers. We call $h_n$ the general term or generic term of the sequence. Two familiar types of sequences are
arithmetic sequences, in which each term is a constant $q$ more than the previous term,
and
geometric sequences, in which each term is a constant multiple $q$ of the previous term.
In both instances, the sequence is uniquely determined once the initial term $h_0$ and the constant $q$ are specified:
(arithmetic sequence)
$$h_0, h_0+q, h_0+2 q, \ldots, h_0+n q, \ldots$$
(geometric sequence)
$$h_0, q h_0, q^2 h_0, \ldots, q^n h_0, \ldots$$
In the case of an arithmetic sequence, we have the rule
$$h_n=h_{n-1}+q, \quad(n \geq 1)$$
and the general term is
$$h_n=h_0+n q, \quad(n \geq 0) .$$
In the case of a geometric sequence, we have the rule
$$h_n=q h_{n-1}, \quad(n \geq 1)$$
and the general term is
$$h_n=h_0 q^n, \quad(n \geq 0)$$

## 数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Linear Homogeneous Recurrence Relations

Let
$$h_0, h_1, h_2, \ldots, h_n, \ldots$$
be a sequence of numbers. This sequence is said to satisfy a linear recurrence relation of order $k$, provided that there exist quantities $a_1, a_2, \ldots, a_k$, with $a_k \neq 0$, and a quantity $b_n$ (each of these quantities $a_1, a_2, \ldots, a_k, b_n$ may depend on $n$ ) such that
$$h_n=a_1 h_{n-1}+a_2 h_{n-2}+\cdots+a_k h_{n-k}+b_n, \quad(n \geq k) .$$
Example. The sequence of derangement numbers
$$D_0, D_1, D_2, \ldots, D_n, \ldots$$
satisfies the two recurrence relations
\begin{aligned} & D_n=(n-1) D_{n-1}+(n-1) D_{n-2}, \quad(n \geq 2) \ & D_n=n D_{n-1}+(-1)^n, \quad(n \geq 1) \text {. } \ & \end{aligned}
The first recurrence relation has order 2 and we have $a_1=n-1$, $a_2=n-1$ and $b_n=0$. The second recurrence relation has order 1 and we have $a_1=n$ and $b_n=(-1)^n$.
Example. The Fibonacci sequence $f_0, f_1, f_2, \ldots, f_n, \ldots$ satisfies the recurrence relation
$$f_n=f_{n-1}+f_{n-2} \quad(n \geq 2)$$
of order 2 with $a_1=1, a_2=1$, and $b_n=0$.

## 数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Some Number Sequences

$$h_0, h_1, h_2, \ldots, h_n, \ldots$$

(等差数列)
$$h_0, h_0+q, h_0+2 q, \ldots, h_0+n q, \ldots$$
(几何序列)
$$h_0, q h_0, q^2 h_0, \ldots, q^n h_0, \ldots$$

$$h_n=h_{n-1}+q, \quad(n \geq 1)$$

$$h_n=h_0+n q, \quad(n \geq 0) .$$

$$h_n=q h_{n-1}, \quad(n \geq 1)$$

$$h_n=h_0 q^n, \quad(n \geq 0)$$

## 数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Linear Homogeneous Recurrence Relations

$$h_0, h_1, h_2, \ldots, h_n, \ldots$$

$$h_n=a_1 h_{n-1}+a_2 h_{n-2}+\cdots+a_k h_{n-k}+b_n, \quad(n \geq k) .$$

$$D_0, D_1, D_2, \ldots, D_n, \ldots$$

\begin{aligned} & D_n=(n-1) D_{n-1}+(n-1) D_{n-2}, \quad(n \geq 2) \ & D_n=n D_{n-1}+(-1)^n, \quad(n \geq 1) \text {. } \ & \end{aligned}

$$f_n=f_{n-1}+f_{n-2} \quad(n \geq 2)$$
2阶的 $a_1=1, a_2=1$，和 $b_n=0$．

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。