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复分析Complex analysis一个函数的 “极点”（或孤立的奇点）是指该函数的值变得无界，或 “爆炸 “的一个点。如果一个函数有这样一个极点，那么人们可以在那里计算函数的残差，这可以用来计算涉及该函数的路径积分；这就是强大的残差定理的内容。皮卡德定理描述了全形函数在基本奇点附近的显著行为。只有极点而没有基本奇点的函数被称为经态函数。劳伦特级数是与泰勒级数相当的复值级数，但可以通过更容易理解的函数（如多项式）的无限和来研究奇点附近的函数行为。
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数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Power Series
We can now give a formal introduction to one of the central ideas in complex analysis:
DEFINITION 3.18. Let $z_0 \in \mathbb{C}$. A series of the form
$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(z-z_0\right)^n
$$
with coefficients $a_n \in \mathbb{C}$ is a power series about $z_0$.
By the change of variable $z^{\prime}=z-z_0$ we can usually reduce properties of power series to the case $z_0=0$. Here, convergence is governed by the following results:
THEOREM 3.19. (i) If a power series $\sum a_n z^n$ converges for $z=z_1 \neq 0$, then it converges absolutely for all $z$ with $|z|<\left|z_1\right|$. (ii) If a power series $\sum a_n z^n$ diverges for $z=z_2$, then it diverges for all $z$ with $|z|>\left|z_2\right|$.
Proof. (i) If a power series $\sum a_n z^n$ converges then $\left|a_n z^n\right| \rightarrow 0$ as $n \rightarrow \infty$, by Corollary 3.7. Thus there exists $K \in \mathbb{R}$ such that $\left|a_n z^n\right|<K$ for all $n$. If $|z|<\left|z_1\right|$ then $q=\left|z / z_1\right|<1$. Now
$$
\left|a_n z^n\right|=\left|a_n z_1^n\right|\left|z / z_1\right|^n<K q^n
$$
so by the comparison test, $\sum\left|a_n z^n\right|$ converges.
(ii) If $|z|>\left|z_2\right|$ and $\sum a_n z^n$ converges then by (i), $\sum a_n z_2^n$ also converges, a contradiction. So $\sum a_n z^n$ diverges.
These results lead to an important concept:
DEFINITION 3.20. Let
$$
R=\sup \left{|z|: \text { there exists } z \text { such that }\left|a_n z^n\right| \text { converges }\right}
$$
(allowing $R=\infty$ if no real supremum exists) then it follows at once that
$$
\sum a_n z^n \begin{cases}\text { converges } & \text { for }|z|R\end{cases}
$$
(We cannot yet say what happens for $|z|=R$.) We define $R$ to be the radius of convergence of the series, and the set
$$
{z \in \mathbb{C}:|z|<R}
$$
is the disc of convergence, classically often called the circle of convergence because geometrically it is the interior of a circle centred at the origin. In extreme cases this may be just the origin when $R=0$, or the whole of $\mathbb{C}$ when $R=\infty$.
In the general case (3.2) where $z_0$ is arbitrary, we apply the same definition with $z$ replaced by $z^{\prime}=z-z_0$. Now the conditions
$$
\sum a_n\left(z-z_0\right)^n \begin{cases}\text { converges } & \text { for }\left|z-z_0\right|R\end{cases}
$$
determine the radius of convergence $R$, and the disc of convergence is
$$
\left{z \in \mathbb{C}:\left|z-z_0\right|<R\right}
$$
数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Manipulating Power Series
The results derived so far let us calculate with power series ‘as if they are infinite polynomials’, provided they are absolutely convergent. To see this, let $\sum a_n z^n$ and $\sum b_n z^n$ be power series with radii of convergence $R_a, R_b$ respectively. Let $|z|<\min \left(R_a, R_b\right)$. By Lemma 3.12,
$$
\sum a_n z^n+\sum b_n z^n=\sum\left(a_n+b_n\right) z^n
$$
By Theorem 3.25 ,
$$
\left(\sum a_n z^n\right)\left(\sum b_n z^n\right)=\sum c_n z^n
$$
where $c_r$ is defined by (3.4). If we replace the infinite sum by a finite one, $\sum_1^n$, these formulas become the usual ones for addition and multiplication of polynomials.
It is this feature that makes power series so useful: we can calculate with them relatively easily. In fact, we can use familiar algebraic methods.
We take advantage of this to exhibit some important features of the complex exponential and trigonometric functions.
DEFINITION 3.26. The complex exponential and trigonometric functions are defined by three power series:
$$
\begin{aligned}
& \exp z=\sum \frac{z^n}{n !} \
& \cos z=\sum(-1)^n \frac{z^{2 n}}{(2 n) !} \
& \sin z=\sum(-1)^n \frac{z^{2 n+1}}{(2 n+1) !}
\end{aligned}
$$
复分析代写
数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Power Series
现在我们可以正式介绍一下复分析的中心思想之一:
3.18.定义让$z_0 \in \mathbb{C}$。一系列的形式
$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(z-z_0\right)^n
$$
带系数的$a_n \in \mathbb{C}$是关于$z_0$的幂级数。
通过变量的变换$z^{\prime}=z-z_0$，我们通常可以将幂级数的性质化简为$z_0=0$。这里，收敛性由以下结果控制:
定理3.19。(i)如果一个幂级数$\sum a_n z^n$对$z=z_1 \neq 0$收敛，那么它对所有$z$对$|z|<\left|z_1\right|$绝对收敛。(ii)如果一个幂级数$\sum a_n z^n$对于$z=z_2$是发散的，那么它对于所有的$z$对于$|z|>\left|z_2\right|$都是发散的。
证明。(i)如果幂级数$\sum a_n z^n$收敛，则根据推论3.7,$\left|a_n z^n\right| \rightarrow 0$等于$n \rightarrow \infty$。因此存在$K \in \mathbb{R}$，使得$\left|a_n z^n\right|\left|z_2\right|$和$\sum a_n z^n$收敛，那么通过(i)， $\sum a_n z_2^n$也收敛，这是一个矛盾。所以$\sum a_n z^n$是发散的。
这些结果引出了一个重要的概念:
3.20.定义让
$$
R=\sup \left{|z|: \text { there exists } z \text { such that }\left|a_n z^n\right| \text { converges }\right}
$$
(允许$R=\infty$，如果没有真正的至高者存在)，那么马上就可以得出
$$
\sum a_n z^n \begin{cases}\text { converges } & \text { for }|z|R\end{cases}
$$
(我们还不能说$|z|=R$会发生什么。)我们定义$R$为级数的收敛半径，集合
$$
{z \in \mathbb{C}:|z|<R}
$$
是收敛盘，经典上通常称为收敛圆，因为从几何上讲，它是以原点为中心的圆的内部。在极端情况下，这可能只是原点$R=0$，或者整个$\mathbb{C}$$R=\infty$。
在一般情况下(3.2)，$z_0$是任意的，我们应用相同的定义，将$z$替换为$z^{\prime}=z-z_0$。现在是条件
$$
\sum a_n\left(z-z_0\right)^n \begin{cases}\text { converges } & \text { for }\left|z-z_0\right|R\end{cases}
$$
确定收敛半径$R$，收敛盘为
$$
\left{z \in \mathbb{C}:\left|z-z_0\right|<R\right}
$$
数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Manipulating Power Series
目前得到的结果让我们可以用幂级数来计算，就好像它们是无穷多项式一样，只要它们是绝对收敛的。为此，设$\sum a_n z^n$和$\sum b_n z^n$分别为收敛半径为$R_a, R_b$的幂级数。让$|z|<\min \left(R_a, R_b\right)$。根据引理3.12，
$$
\sum a_n z^n+\sum b_n z^n=\sum\left(a_n+b_n\right) z^n
$$
根据定理3.25，
$$
\left(\sum a_n z^n\right)\left(\sum b_n z^n\right)=\sum c_n z^n
$$
其中$c_r$由(3.4)定义。如果我们用有限和代替无穷和，$\sum_1^n$，这些公式就变成了多项式加法和乘法的常用公式。
正是这个特性使得幂级数如此有用:我们可以相对容易地使用它们进行计算。事实上，我们可以用熟悉的代数方法。
利用这一点，我们展示了复指数函数和三角函数的一些重要特征。
3.26.定义复指数函数和三角函数由三个幂级数定义:
$$
\begin{aligned}
& \exp z=\sum \frac{z^n}{n !} \
& \cos z=\sum(-1)^n \frac{z^{2 n}}{(2 n) !} \
& \sin z=\sum(-1)^n \frac{z^{2 n+1}}{(2 n+1) !}
\end{aligned}
$$
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微观经济学代写
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线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。