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# 数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Hybrid Functions

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## 数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Hybrid Functions

At this point we briefly consider hybrid functions, by which we mean real-valued functions of a complex variable or complex-valued functions of a real variable. There are evident notions of differentiation in both cases. For instance, a real-valued function of a complex variable $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ where $D$ is an open subset of $\mathbb{C}$ may be regarded merely as a complex function with imaginary part zero. Such a hybrid function is a very dull fellow, for if it is differentiable, its constant imaginary part implies that it must be constant, by Proposition 4.15 .

We fare a little better with complex-valued functions of a real variable. The most interesting case is $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}$, which (when continuous) is a path in the complex plane. Define the derivative at $t_0 \in[a, b]$ to be
$$\lim _{t \rightarrow t_0} \frac{f(t)-f\left(t_0\right)}{t-t_0}$$
in the obvious way (and allowing appropriate one-sided limits at the end points $a$ and $b$ ) we obtain the expected generalisations of the usual properties of the derivative:

PROPOSITION 4.16. Iff $:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}, g:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}$ are differentiable at $t \in[a, b]$, then
\begin{aligned} (f \pm g)^{\prime}(t) & =f^{\prime}(t) \pm g^{\prime}(t) \ (f \cdot g)^{\prime}(t) & =f(t) g^{\prime}(t)+f^{\prime}(t) g(t) \ (f / g)^{\prime}(t) & =\left(f^{\prime}(t) g(t)-f(t) g^{\prime}(t)\right) /(g(t))^2 \end{aligned}

## 数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Manipulating Power Series

The results derived so far let us calculate with power series ‘as if they are infinite polynomials’, provided they are absolutely convergent. To see this, let $\sum a_n z^n$ and $\sum b_n z^n$ be power series with radii of convergence $R_a, R_b$ respectively. Let $|z|<\min \left(R_a, R_b\right)$. By Lemma 3.12,
$$\sum a_n z^n+\sum b_n z^n=\sum\left(a_n+b_n\right) z^n$$
By Theorem 3.25 ,
$$\left(\sum a_n z^n\right)\left(\sum b_n z^n\right)=\sum c_n z^n$$
where $c_r$ is defined by (3.4). If we replace the infinite sum by a finite one, $\sum_1^n$, these formulas become the usual ones for addition and multiplication of polynomials.
It is this feature that makes power series so useful: we can calculate with them relatively easily. In fact, we can use familiar algebraic methods.
We take advantage of this to exhibit some important features of the complex exponential and trigonometric functions.
DEFINITION 3.26. The complex exponential and trigonometric functions are defined by three power series:
\begin{aligned} & \exp z=\sum \frac{z^n}{n !} \ & \cos z=\sum(-1)^n \frac{z^{2 n}}{(2 n) !} \ & \sin z=\sum(-1)^n \frac{z^{2 n+1}}{(2 n+1) !} \end{aligned}

## 数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Power Series

3.18.定义让$z_0 \in \mathbb{C}$。一系列的形式
$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(z-z_0\right)^n$$

3.20.定义让
$$R=\sup \left{|z|: \text { there exists } z \text { such that }\left|a_n z^n\right| \text { converges }\right}$$
(允许$R=\infty$，如果没有真正的至高者存在)，那么马上就可以得出
$$\sum a_n z^n \begin{cases}\text { converges } & \text { for }|z|R\end{cases}$$
(我们还不能说$|z|=R$会发生什么。)我们定义$R$为级数的收敛半径，集合
$${z \in \mathbb{C}:|z|<R}$$

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。