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数理逻辑Mathematical logic在19世纪中期作为数学的一个子领域出现，反映了两个传统的交汇：形式化的哲学逻辑和数学。 “数理逻辑，也被称为’逻辑学’、’符号逻辑’、’逻辑代数’，最近还被简单地称为’形式逻辑’，是在上个世纪过程中借助人工符号和严格的演绎方法阐述的一套逻辑理论。”在这次出现之前，逻辑是与修辞学、计算学、通过三段论和哲学一起研究。20世纪上半叶出现了基本结果的爆发，同时伴随着对数学基础的激烈争论。
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数学代写|数理逻辑入门代写Introduction To Mathematical logic代考|Further Reformulations and Harrington’s Statement
The problem emerged once again in the early years of forcing, especially in the case $m=1$ corresponding to analytic definability in second-order arithmetic. The early survey [20] by A. R. D. Mathias (the original typescript has been known to set theorists since 1968) contains Problem 3112, that requires finding a model of ZFC in which it is true that:
the set of analytically definable reals is analytically definable
that is, $\mathbf{D}{11} \in \mathbf{D}{21}$. Recall that reals in this context mean subsets of $\omega$. Another problem there, P 3110, suggests a sharper form of this statement, namely; find a model in which it is true that
analytically definable reals are precisely the constructible reals
that is, $\mathbf{D}{11}=\mathscr{P}(\omega) \cap \mathbf{L}$. The set $\mathscr{P}(\omega) \cap \mathbf{L}$ of all constructible reals is (lightface) $\Sigma_2^1$, and hence $\mathbf{D}{21}$, so that the equality $\mathbf{D}{11}=\mathscr{P}(\omega) \cap \mathbf{L}$ implies $\mathbf{D}{11} \in \mathbf{D}_{21}$, that is the case $m=1$ of the sentence (2).
Somewhat later, Problem 87 in Harvey Friedman’s survey One hundred and two problems in mathematical logic [21] requires to prove that for each $n$ in the domain $2<n \leq \omega$ there is a model of:
For $n \leq 2$ this is definitely impossible by the Shoenfield absoluteness theorem. As $\Delta_\omega^1$ is the same as $\mathbf{D}{11}=$ all analytically definable reals, the case $n=\omega$ in (3) is just a reformulation of $\mathbf{D}{11}=\mathscr{P}(\omega) \cap \mathbf{L}$.
At the very end of [21], it is noted that Leo Harrington had solved problem (3) affirmatively. A similar remark, see in [20] (p. 166), a comment to P 3110. And indeed, Harrington’s handwritten notes [22] present the following major result quoted here verbatim:
Theorem 1 (Harrington [22] (p. 1)). There are models of ZFC in which the set of constructible reals is, respectively, exactly the following set of reals:
$$
\Delta_3^1, \Delta_4^1, \ldots, \Delta_\omega^1=\text { projective, } \Delta_n^m, 1 \leq n \leq \omega, 2 \leq m \leq \omega
$$
数学代写|数理逻辑入门代写Introduction To Mathematical logic代考|The Main Theorem
The goal of this paper is to present a complete proof of the following part of Harrington’s statement in Theorem 1, related to the consistency of the Tarski sentence $\mathbf{D}{1 m} \in \mathbf{D}{2 m}$ and the equality $\mathbf{D}{1 m}=\mathscr{P}(\omega) \cap \mathbf{L}$, strengthened by extra claims (ii) and (iii). This is the main result of this paper. Theorem 2. Let $M \geq 1$. There is a generic extension of $\mathbf{L}$ in which it is true that (i) $\mathbf{D}{1 \mathbb{M}}=\mathscr{P}(\omega) \cap \mathbf{L}$, that is, constructible reals are precisely reals in $\mathbf{D}{1 \mathbb{M}}-$ in particular, $\mathbf{D}{1 \mathbb{M}}$ is a $\Sigma_2^1$ set, hence, $\mathbf{D}{1 M} \in \mathbf{D}{21}$, and even moreso, $\mathbf{D}{1 M} \in \mathbf{D}{2 M}$;
(ii) if $n \neq \mathbb{M}$ then $\mathbf{D}{1 n} \notin \mathbf{D}{2 n}$;
(iii) the general continuum hypothesis GCH holds.
Thus, for every particular $M \geq 1$, there exists a generic extension of $\mathbf{L}$ in which the Tarski sentence $\mathbf{D}{1 M} \in \mathbf{D}{2 M}$ holds whereas $\mathbf{D}{1 n} \notin \mathbf{D}{2 n}$ for all other values $n \neq \mathbb{M}$. We recall that $\mathbf{D}{1 M} \in \mathbf{D}{2 M}$ fails in $\mathbf{L}$ itself for all $M$, see above.
Corollary 1. If $M \geq 1$ then the sentence $\mathbf{D}{1 M} \in \mathbf{D}{2 M}$ is undecidable in $\mathbf{Z F C}$, even in the presence of $\forall n \neq \mathbb{M}\left(\mathbf{D}{1 n} \notin \mathbf{D}{2 n}\right)$.
This paper is dedicated to the proof of Theorem 2. This will be another application of the methods sketched by Harrington and developed in detail in our previous papers [4,5] in this Journal, but here modified and further developed for the purpose of a solution to the Tarski problem.
We may note that problems of construction of models of set theory in which this or another effect is obtained at a certain prescribed definability level (not necessarily the least possible one) are considered in modern set theory, see e.g., Problem 9 in [26] (Section 9) or Problem 11 in [27] (page 209). Some results of this type have recently been obtained in set theory, namely:
(A) a model [3] in which, for a given $n \geq 3$, there exists a countable non-empty $\Pi_n^1$ set of reals, containing no OD element, while every countable $\Sigma_n^1$ set of reals contains only OD reals;
(B) a model [28] in which, for a given $n \geq 2$, there is a $\Pi_n^1$ real singleton that effectively codes a cofinal map $\omega \rightarrow \omega_1^{\mathbf{L}}$, minimal over $\mathbf{L}$, while every $\Sigma_n^1$ real is constructible;
(C) a model [29] in which, for a given $n \geq 2$, there exists a planar non-ROD-uniformizable lightface $\Pi_n^1$ set, all of whose vertical cross-sections are countable, whereas all boldface $\Sigma_n^1$ sets with countable cross-sections are $\Delta_{n+1}^1$-uniformizable;
(D) a model [30] in which, for a given $n \geq 3$, the Separation principle fails for $\Pi_n^1$.
数理逻辑入门代写
数学代写|数理逻辑入门代写Introduction To Mathematical logic代考|Further Reformulations and Harrington’s Statement
在强迫的早期，这个问题再次出现，特别是在$m=1$对应于二阶算法的解析可定义性的情况下。a . R. D. Mathias的早期调查20包含问题3112，要求找到一个ZFC模型，其中它为真:
可解析定义的实数集合是可解析定义的
也就是$\mathbf{D}{11} \in \mathbf{D}{21}$。回想一下，在这种情况下，real表示$\omega$的子集。这里的另一个问题，在第3110页，提出了这种说法的一个更尖锐的形式:找到一个模型，在这个模型中
解析可定义实数恰恰是可构造实数
也就是$\mathbf{D}{11}=\mathscr{P}(\omega) \cap \mathbf{L}$。所有可构造实数的集合$\mathscr{P}(\omega) \cap \mathbf{L}$是(lightface) $\Sigma_2^1$，因此是$\mathbf{D}{21}$，因此等式$\mathbf{D}{11}=\mathscr{P}(\omega) \cap \mathbf{L}$意味着$\mathbf{D}{11} \in \mathbf{D}{21}$，即句子(2)的情况$m=1$。 稍晚些时候，Harvey Friedman的调查《数理逻辑中的102个问题》[21]中的第87题要求证明对于$2\omega^1$与$\mathbf{D}{11}=$都是可解析定义的实数，式(3)中的情况$n=\omega$只是$\mathbf{D}{11}=\mathscr{P}(\omega) \cap \mathbf{L}$的一个重新表述。
在[21]的最后，我们注意到Leo Harrington已经肯定地解决了问题(3)。类似的评论，见20，对第3110页的评论事实上，哈林顿的手写笔记[22]给出了以下主要结果，这里逐字引用:
定理1 (Harrington [22] (p. 1))。存在一些ZFC模型，其中可构造实数集分别为以下实数集:
$$
\Delta_3^1, \Delta_4^1, \ldots, \Delta_\omega^1=\text { projective, } \Delta_n^m, 1 \leq n \leq \omega, 2 \leq m \leq \omega
$$
数学代写|数理逻辑入门代写Introduction To Mathematical logic代考|The Main Theorem
本文的目的是对定理1中有关Tarski句$\mathbf{D}{1 m} \in \mathbf{D}{2 m}$的一致性和等式$\mathbf{D}{1 m}=\mathscr{P}(\omega) \cap \mathbf{L}$的哈林顿陈述的以下部分给出完整的证明，并通过额外的断言(ii)和(iii)得到加强。这是本文的主要成果。定理2。让$M \geq 1$。$\mathbf{L}$有一个通用的扩展，其中(i) $\mathbf{D}{1 \mathbb{M}}=\mathscr{P}(\omega) \cap \mathbf{L}$，也就是说，可构造实数在$\mathbf{D}{1 \mathbb{M}}-$中是精确实数，$\mathbf{D}{1 \mathbb{M}}$是一个$\Sigma_2^1$集合，因此，$\mathbf{D}{1 M} \in \mathbf{D}{21}$，甚至$\mathbf{D}{1 M} \in \mathbf{D}{2 M}$;
(ii)如果$n \neq \mathbb{M}$则$\mathbf{D}{1 n} \notin \mathbf{D}{2 n}$;
(iii) GCH持有的一般连续统假设。
因此，对于每个特定的$M \geq 1$，存在一个$\mathbf{L}$的一般扩展，其中包含Tarski句子$\mathbf{D}{1 M} \in \mathbf{D}{2 M}$，而包含所有其他值$n \neq \mathbb{M}$的$\mathbf{D}{1 n} \notin \mathbf{D}{2 n}$。我们记得，对于所有$M$, $\mathbf{L}$本身的$\mathbf{D}{1 M} \in \mathbf{D}{2 M}$都失败了，见上文。
推论1。如果是$M \geq 1$，那么在$\mathbf{Z F C}$中，即使有$\forall n \neq \mathbb{M}\left(\mathbf{D}{1 n} \notin \mathbf{D}{2 n}\right)$存在，句子$\mathbf{D}{1 M} \in \mathbf{D}{2 M}$也是不可判定的。
本文致力于定理2的证明。这将是哈林顿概述的方法的另一种应用，并在我们之前的论文[4,5]中详细发展，但这里修改并进一步发展，以解决塔斯基问题。
我们可以注意到，在现代集合理论中考虑了在某个规定的可定义性水平(不一定是最低可能的水平)上获得这种或那种效果的集合理论模型的构建问题，例如，[26]中的第9题(第9节)或[27]中的第11题(第209页)。最近在集合论中得到了这类的一些结果，即:
(A)一个模型[3]，对于给定的$n \geq 3$，存在一个可数的非空的$\Pi_n^1$实数集，不包含OD元素，而每个可数的$\Sigma_n^1$实数集只包含OD实数;
(B)一个模型[28]，在这个模型中，对于一个给定的$n \geq 2$，有一个$\Pi_n^1$真实的单例，它有效地编码了一个cofinal映射$\omega \rightarrow \omega_1^{\mathbf{L}}$，最小超过$\mathbf{L}$，而每个$\Sigma_n^1$真实是可构造的;
(C)模型[29]，对于给定的$n \geq 2$，存在一个平面的不可均匀化光照面$\Pi_n^1$集，其垂直截面都是可计数的，而所有具有可计数截面的黑体字$\Sigma_n^1$集都是可$\Delta_{n+1}^1$均匀化的;
(D)模型[30]，其中对于给定$n \geq 3$，分离原则对于$\Pi_n^1$失效。
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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。