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统计代写|抽样调查代考Survey sampling代写|INCREASING POPULATIONS

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统计代写|抽样调查代考Survey sampling代写|INCREASING POPULATIONS

It may be of interest to know the properties of a strategy as the population and sample sizes increase. To investigate these properties we follow ISAKI and FULLER (1982) and consider a sequence of increasing populations
$$U_1 \subset U_2 \subset U_3 \subset \ldots$$
of sizes $N_1<N_2<\ldots$ and a sequence of increasing sample sizes $n_1<n_2<\ldots$. The units of $U_T$ are labeled
$$1,2, \ldots, N_T$$
with values
$$Y_1, Y_2, \ldots, Y_{N_T}$$
of a variable $y$ of interest and, possibly, with $K$ vectors
$$\underline{x}1, \underline{x}_2, \ldots, \underline{x}{N_T}$$
defined by $K$ auxiliary variables $x_1, \ldots, x_K$.

The discussion of the sequence of populations is greatly simplified by appropriate additional assumptions. To formulate such an assumption we define
\begin{aligned} & U(1)=\left{1,2, \ldots, N_1\right} \ & U(2)=\left{N_1+1, N_1+2, \ldots, N_2\right} \ & U(3)=\left{N_2+1, N_2+2, \ldots, N_3\right} \end{aligned}

统计代写|抽样调查代考Survey sampling代写|CONSISTENCY, ASYMPTOTIC UNBIASEDNESS

For $T=1,2, \ldots$ let $\left(p_T, t_T\right)$ be a strategy for estimating $\bar{Y}T$ by selecting a sample $s_T$ of size $n_T$ from $U_T$. $p_T$ and $t_T$ may depend on auxiliary variables; however, $p_T$ does not depend on the variable of interest $y$ and $t_T$ does not involve $Y_i$ ‘s with $i$ outside $s_T$. Let $$\underline{Y}=\left(Y_1, Y_2, \cdots\right)$$ be a sequence of $y$ values subject to Assumption $\mathbf{A}$, but otherwise arbitrary. Given $\underline{Y}$, $$t_T\left(s_T, \underline{Y}\right)-\bar{Y} ; T=1,2, \ldots$$ is a sequence of random variables with distributions defined by $$p_T ; T=1,2, \ldots$$ $t_T$ is asymptotically design unbiased or more fully asymptotically design unbiased (ADU) if $$\lim {T \rightarrow \infty} E_{p_T}\left(t_T-\bar{Y}\right)=0 .$$
Exact unbiasedness of $t_T$ of course ensures its asymptotic unbiasedness.

By describing the sequence Eq. (5.1) of random variables as converging in probability to 0 we mean
$$\lim _{T \rightarrow \infty} P_T\left{\left|t_T-\bar{Y}\right|>\varepsilon\right}=0$$
for all $\varepsilon>0$; here $P_T$ is the probability defined by $p_T$.
In this case $t_T$ is called consistent for $\bar{Y}$ (with respect to $p_T$ ) or more fully asymptotically design consistent (ADC).

抽样调查代写

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$$U_1 \subset U_2 \subset U_3 \subset \ldots$$

$$1,2, \ldots, N_T$$

$$Y_1, Y_2, \ldots, Y_{N_T}$$

$$\underline{x}1, \underline{x}_2, \ldots, \underline{x}{N_T}$$

\begin{aligned} & U(1)=\left{1,2, \ldots, N_1\right} \ & U(2)=\left{N_1+1, N_1+2, \ldots, N_2\right} \ & U(3)=\left{N_2+1, N_2+2, \ldots, N_3\right} \end{aligned}

统计代写|抽样调查代考Survey sampling代写|CONSISTENCY, ASYMPTOTIC UNBIASEDNESS

$$\lim _{T \rightarrow \infty} P_T\left{\left|t_T-\bar{Y}\right|>\varepsilon\right}=0$$

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MATLAB代写

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