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# 数学代写|数论代写Number Theory代考|Euclidean Domains

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## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Euclidean Domains

To define a Euclidean domain we must first define a Euclidean function.
Definition 2.1.1 (Euclidean function) Let $D$ be an integral domain. A mapping $\phi: D \rightarrow \mathbb{Z}$ is called a Euclidean function on $D$ if it has the following two properties:
$\phi(a b) \geq \phi(a)$, for all $a, b \in D$ with $b \neq 0$,
if $a, b \in D$ with $b \neq 0$ then there exist $q, r \in D$
such that $a=q b+r$ and $\phi(r)<\phi(b)$.
Example 2.1.1 $\phi(a)=|a|(a \in \mathbb{Z})$ is a Euclidean function on $\mathbb{Z}$.
Example 2.1.2 Let $D=F[x]$, where $F$ is a field. $D$ is the domain of polynomials in $x$ with coefficients in $F$. Let $p(x) \in D$. Then
$$\phi(p(x))= \begin{cases}\operatorname{deg}(p(x)), & \text { if } p(x) \neq 0 \ -1, & \text { if } p(x)=0\end{cases}$$
is a Euclidean function on $D$.

In general the elements $q$ and $r$ in (2.1.2) are not uniquely determined. If $D$ is an integral domain that is not a field and that possesses a Euclidean function $\phi$ for which the quotient and remainder $r$ in (2.1.2) are always uniquely determined by $a$ and $b$ then $D=F[x]$ for some field $F$. This result is due to Rhai [14]; see also Jodeit [12].

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Examples of Euclidean Domains

In view of Examples 2.1.1 and 2.1.2 we have
Theorem 2.2.1
(a) $\mathbb{Z}$ is a Euclidean domain.
(b) Let $F$ be a field. Then $F[x]$ is a Euclidean domain.
From Theorems 2.1 .2 and 2.2 .1 we see that $\mathbb{Z}$ and $F[x]$ are principal ideal domains. In the remainder of this section we investigate when the integral domains $\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{m}(m \equiv 2,3(\bmod 4))$ and $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\left(\frac{1+\sqrt{m}}{2}\right)(m \equiv 1(\bmod 4))$ are Euclidean with respect to the function that maps $r+s \sqrt{m}$ to $\left|r^2-m s^2\right|$. In this section we denote this function by $\phi_m$. Later in Section 9.2 we recognize $\phi_m$ as the absolute value of the norm of the element $r+s \sqrt{m}$. Integral domains that are Euclidean with respect to the absolute value of the norm are called norm-Euclidean.

Definition 2.2.1 (Function $\phi_m$ ) Let $m$ be a squarefree integer. The function $\phi_m$ : $\mathbb{Q}(\sqrt{m}) \rightarrow \mathbb{Q}$ is defined by
$$\phi_m(r+s \sqrt{m})=\left|r^2-m s^2\right|$$
for all $r, s \in \mathbb{Q}$.
The basic properties of $\phi_m$ are given in the next lemma.
Lemma 2.2.1 Let $m$ be a squarefree integer:
(a) $\phi_m: \mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{m} \rightarrow \mathbb{N} \cup{0}$.
(b) If $m \equiv 1(\bmod 4)$ then $\phi_m: \mathbb{Z}+\mathbb{Z}\left(\frac{1+\sqrt{m}}{2}\right) \rightarrow \mathbb{N} \cup{0}$.
(c) Let $\alpha \in \mathbb{Q}(\sqrt{m})$. Then $\phi_m(\alpha)=0 \Longleftrightarrow \alpha=0$.
(d) $\phi_m(\alpha \beta)=\phi_m(\alpha) \phi_m(\beta)$ for all $\alpha, \beta \in \mathbb{Q}(\sqrt{m})$.
(e) $\phi_m(\alpha \beta) \geq \phi_m(\alpha)$ for all $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{m}$ with $\beta \neq 0$.
(f) If $m \equiv 1(\bmod 4)$, then $\phi_m(\alpha \beta) \geq \phi_m(\alpha)$ for all $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}+\mathbb{Z}\left(\frac{1+\sqrt{m}}{2}\right)$ with $\beta \neq 0$.

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Euclidean Domains

$\phi(a b) \geq \phi(a)$，对于所有$a, b \in D$和$b \neq 0$，

$$\phi(p(x))= \begin{cases}\operatorname{deg}(p(x)), & \text { if } p(x) \neq 0 \ -1, & \text { if } p(x)=0\end{cases}$$

## MATLAB代写

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