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# 数学代写|数论代写Number Theory代考|Properties of an Integral Domain

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## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Properties of an Integral Domain

Let $D$ be an integral domain. Then the following properties hold.
(a) The identity element of $D$ is unique, for if 1 and $1^{\prime}$ are two identities for $D$ then
$$1=1 \cdot 1^{\prime} \text { (as } 1^{\prime} \text { is an identity) }=1^{\prime} \text { (as } 1 \text { is an identity). }$$
(b) $D$ possesses a left cancellation law, that is,
$$a b=a c, a \neq 0 \Longrightarrow b=c(a, b, c \in D)$$
as well as a right cancellation law
$$a c=b c, c \neq 0 \Longrightarrow a=b(a, b, c \in D)$$
(c) It is well known that if $D$ is an integral domain then there exists a field $F$, called the field of quotients of $D$ or the quotient field of $D$, that contains an isomorphic copy $D^{\prime}$ of $D$ (see, for example, Fraleigh [3]). In practice it is usual to identify $D$ with $D^{\prime}$ and so consider $D$ as a subdomain of $F$. The quotient field of $\mathbb{Z}$ is the field of rational numbers $\mathbb{Q}$. The quotient field of the polynomial domain $F[X]$ (where $F$ is a field) is the field $F(X)$ of rational functions in $X$.

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Properties of Divisors

Let $a, b, c \in D$, where $D$ is an integral domain. Then the following properties hold.
(a) $a \mid a$ (reflexive property).
(b) $a \mid b$ and $b \mid c$ implies $a \mid c$ (transitive property).

(c) $a \mid b$ and $a \mid c$ implies $a \mid x b+y c$ for any $x \in D$ and $y \in D$.
(d) $a \mid b$ implies $a c \mid b c$.
(e) $a c \mid b c$ and $c \neq 0$ implies $a \mid b$.
(f) $1 \mid a$.
(g) $a \mid 0$.
(h) $0 \mid a$ implies $a=0$.
Definition 1.1.3 (Unit) An element a of an integral domain $D$ is called a unit if $a \mid 1$. The set of units of $D$ is denoted by $U(D)$.
Properties of Units
Let $D$ be an integral domain. Then $U(D)$ has the following properties.
(a) $\pm 1 \in U(D)$.
(b) If $a \in U(D)$ then $-a \in U(D)$.
(c) If $a \in U(D)$ then $a^{-1} \in U(D)$.
(d) If $a \in U(D)$ and $b \in U(D)$ then $a b \in U(D)$.
(e) If $a \in U(D)$ then $\pm a^n \in U(D)$ for any $n \in \mathbb{Z}$.
Example 1.1.17
(a) $i \in U(\mathbb{Z}+\mathbb{Z} i)$.
(b) $\omega \in U(\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \omega)$ (see Example 1.1.3).
(c) $\theta \in U\left(\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \theta+\mathbb{Z} \theta^2\right)$ as $1=\theta\left(-1-\theta^2\right)$ (see Example 1.1.10).

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Properties of an Integral Domain

(a) $D$的单位元素是唯一的，因为如果1和$1^{\prime}$是$D$的两个单位，那么
$$1=1 \cdot 1^{\prime} \text { (as } 1^{\prime} \text { is an identity) }=1^{\prime} \text { (as } 1 \text { is an identity). }$$
(b) $D$具有左消律，即:
$$a b=a c, a \neq 0 \Longrightarrow b=c(a, b, c \in D)$$

$$a c=b c, c \neq 0 \Longrightarrow a=b(a, b, c \in D)$$
(c)众所周知，如果$D$是一个积分域，那么存在一个域$F$，称为$D$的商域或$D$的商域，它包含$D$的一个同构副本$D^{\prime}$(例如，参见Fraleigh[3])。在实践中，通常将$D$与$D^{\prime}$等同起来，因此将$D$视为$F$的一个子域。$\mathbb{Z}$的商域是有理数域$\mathbb{Q}$。多项式域$F[X]$(其中$F$是一个域)的商域是$X$中有理函数的域$F(X)$。

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Properties of Divisors

(a) $a \mid a$(自反性)。
(b) $a \mid b$和$b \mid c$表示$a \mid c$(传递性)。

(c)对于任何$x \in D$和$y \in D$, $a \mid b$和$a \mid c$指$a \mid x b+y c$。
(d) $a \mid b$暗示$a c \mid b c$。
(e) $a c \mid b c$和$c \neq 0$表示$a \mid b$。
(f) $1 \mid a$。
(g) $a \mid 0$。
(h) $0 \mid a$暗含$a=0$。

(a) $\pm 1 \in U(D)$。
(b)如果$a \in U(D)$则$-a \in U(D)$。
(c)如果$a \in U(D)$则$a^{-1} \in U(D)$。
(d)如果$a \in U(D)$和$b \in U(D)$，那么$a b \in U(D)$。
(e)如果是$a \in U(D)$，那么对于任何$n \in \mathbb{Z}$则是$\pm a^n \in U(D)$。
1.1.17
(a) $i \in U(\mathbb{Z}+\mathbb{Z} i)$。
(b) $\omega \in U(\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \omega)$(见例1.1.3)。
(c) $\theta \in U\left(\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \theta+\mathbb{Z} \theta^2\right)$为$1=\theta\left(-1-\theta^2\right)$(见例1.1.10)。

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