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图论Graph Theory在数学和计算机科学领域，图论是对图的研究，涉及边和顶点之间的关系。它是一门热门学科，在计算机科学、信息技术、生物科学、数学和语言学中都有应用。近年来，图论已经成为各种学科的重要数学工具，从运筹学和化学到遗传学和语言学，从电气工程和地理到社会学和建筑。同时，它本身也作为一门有价值的数学学科出现。
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数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|The structure of 3-connected graphs
In the last section we showed first how every connected graph decomposes canonically into 2 -connected subgraphs (and bridges), and how these are arranged in a tree-like way to make up the whole graph. There is a similar canonical decomposition of 2-connected graphs into 3-connected pieces (and cycles), which are again organized in a tree-like way. This nontrivial structure theorem of Tutte is most naturally expressed in terms of tree-decompositions, to be introduced in Chapter 12. We therefore omit it here. $^1$
Instead, we shall describe how every 3 -connected graph can be obtained from a $K^4$ by a succession of elementary operations preserving 3 -connectedness. We then prove a deep result of Tutte about the algebraic structure of the cycle space of 3-connected graphs; this will play an important role again in Chapter 4.5.
In Proposition 3.1.3 we saw how every 2-connected graph can be constructed inductively by a sequence of steps starting from a cycle. All the graphs in the sequence were themselves 2-connected, so the graphs obtainable by this construction method are precisely the 2-connected graphs. Note that the cycles as starting graphs cannot be replaced by a smaller class, because they do not have proper 2-connected subgraphs.
When we try to do the same for 3-connected graphs, we soon notice that both the set of starting graphs and the construction steps required become too complicated. If we base our construction sequences on the minor relation instead of subgraphs, however, it all works smoothly again:
Lemma 3.2.1. If $G$ is 3-connected and $|G|>4$, then $G$ has an edge $e$ such that $G / e$ is again 3-connected.
Proof. Suppose there is no such edge $e$. Then, for every edge $x y \in G$, the graph $G / x y$ contains a separator $S$ of at most 2 vertices. Since $\kappa(G) \geqslant 3$, the contracted vertex $v_{x y}$ of $G / x y$ (see Chapter 1.7) lies in $S$ and $|S|=2$, i.e. $G$ has a vertex $z \notin{x, y}$ such that $\left{v_{x y}, z\right}$ separates $G / x y$. Then any two vertices separated by $\left{v_{x y}, z\right}$ in $G / x y$ are separated in $G$ by $T:={x, y, z}$. Since no proper subset of $T$ separates $G$, every vertex in $T$ has a neighbour in every component $C$ of $G-T$.
数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Menger’s theorem
The following theorem is one of the cornerstones of graph theory.
Theorem 3.3.1. (Menger 1927)
Let $G=(V, E)$ be a graph and $A, B \subseteq V$. Then the minimum number of vertices separating $A$ from $B$ in $G$ is equal to the maximum number of disjoint $A-B$ paths in $G$.
We offer three proofs. Whenever $G, A, B$ are given as in the theorem, we denote by $k=k(G, A, B)$ the minimum number of vertices separating $A$ from $B$ in $G$. Clearly, $G$ cannot contain more than $k$ disjoint $A-B$ paths; our task will be to show that $k$ such paths exist.
First proof. We apply induction on $|G|$. If $G$ has no edge, then $|A \cap B|=k$ and we have $k$ trivial $A-B$ paths. So we assume that $G$ has an edge $e=x y$. If $G$ has no $k$ disjoint $A-B$ paths, then neither does $G / e$; here, we count the contracted vertex $v_e$ as an element of $A$ (resp. $B$ ) in $G / e$ if in $G$ at least one of $x, y$ lies in $A$ (resp. $B$ ). By the induction hypothesis, $G / e$ contains an $A-B$ separator $Y$ of fewer than $k$ vertices. Among these must be the vertex $v_e$, since otherwise $Y \subseteq V$ would be an $A-B$ separator in $G$. Then $X:=\left(Y \backslash\left{v_e\right}\right) \cup{x, y}$ is an $A-B$ separator in $G$ of exactly $k$ vertices.
We now consider the graph $G-e$. Since $x, y \in X$, every $A-X$ separator in $G-e$ is also an $A-B$ separator in $G$ and hence contains at least $k$ vertices. So by induction there are $k$ disjoint $A-X$ paths in $G-e$, and similarly there are $k$ disjoint $X-B$ paths in $G-e$. As $X$ separates $A$ from $B$, these two path systems do not meet outside $X$, and can thus be combined to $k$ disjoint $A-B$ paths.
图论代写
数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|The structure of 3-connected graphs
在上一节中，我们首先展示了每个连通图如何常规地分解为2连通子图(和桥)，以及这些子图如何以树状方式排列以组成整个图。有一个类似的规范分解，将2连通图分解为3连通的部分(和循环)，它们再次以树状方式组织。图特的这个非平凡结构定理最自然地表达为树分解，将在第12章介绍。因此，我们在这里省略它。 $^1$
相反，我们将描述如何通过一系列保持3连通的基本运算从$K^4$得到每一个3连通图。然后证明了Tutte关于3连通图的循环空间的代数结构的一个深刻结果;这将在第4.5章中再次发挥重要作用。
在命题3.1.3中，我们看到了如何用从一个循环开始的一系列步骤来归纳地构造每一个2连通图。序列中的所有图本身都是2连通的，因此用这种构造方法得到的图就是2连通图。注意，作为起始图的循环不能被更小的类所取代，因为它们没有适当的2连通子图。
当我们尝试对3连通图做同样的事情时，我们很快注意到，起始图的集合和所需的构造步骤都变得过于复杂。然而，如果我们将构造序列建立在次要关系上，而不是子图上，那么一切都会顺利进行:
引理3.2.1。如果$G$和$|G|>4$是3连接的，那么$G$有一条边$e$，使得$G / e$也是3连接的。
证明。假设没有这样的边$e$。然后，对于每条边$x y \in G$，图形$G / x y$包含最多2个顶点的分隔符$S$。由于$\kappa(G) \geqslant 3$, $G / x y$(参见1.7章)的收缩顶点$v_{x y}$位于$S$和$|S|=2$，即$G$有一个顶点$z \notin{x, y}$，这样$\left{v_{x y}, z\right}$就把$G / x y$分开了。然后在$G / x y$中以$\left{v_{x y}, z\right}$分隔的任意两个顶点在$G$中以$T:={x, y, z}$分隔。因为$T$没有合适的子集将$G$分开，所以$T$中的每个顶点在$G-T$的每个分量$C$中都有一个邻居。
数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Menger’s theorem
下面的定理是图论的基石之一。
定理3.3.1。(门格尔，1927)
设$G=(V, E)$为图形，$A, B \subseteq V$为图形。那么$G$中分离$A$和$B$的最小顶点数等于$G$中不相交的$A-B$路径的最大数目。
我们提供三种证明。当根据定理给出$G, A, B$时，我们用$k=k(G, A, B)$表示$G$中分离$A$和$B$的最小顶点数。显然，$G$不能包含超过$k$不相交的$A-B$路径;我们的任务是证明$k$存在这样的路径。
第一个证明。我们对 $|G|$． 如果 $G$ 没有棱角，是吗 $|A \cap B|=k$ 我们有 $k$ 琐碎的 $A-B$ 路径。所以我们假设 $G$ 有优势 $e=x y$． 如果 $G$ 没有 $k$ 不相交 $A-B$ 路径，那么两者都没有 $G / e$； 这里，我们计算收缩顶点 $v_e$ 作为 $A$ (回答) $B$ )在 $G / e$ 如果在 $G$ 至少有一个 $x, y$ 在于 $A$ (回答) $B$ ）. 根据归纳假设， $G / e$ 包含 $A-B$ 分离器 $Y$ 少于 $k$ 顶点。其中一定有顶点 $v_e$，既然不然 $Y \subseteq V$ 会是一个 $A-B$ 分隔符 $G$． 然后 $X:=\left(Y \backslash\left{v_e\right}\right) \cup{x, y}$ 是吗? $A-B$ 分隔符 $G$ 完全正确 $k$ 顶点。
我们现在考虑这个图$G-e$。从$x, y \in X$开始，$G-e$中的每个$A-X$分隔符也是$G$中的$A-B$分隔符，因此至少包含$k$个顶点。通过归纳，$G-e$中有$k$不相交的$A-X$路径，同样，$G-e$中也有$k$不相交的$X-B$路径。由于$X$将$A$与$B$分开，这两个路径系统不会在$X$之外相遇，因此可以组合为$k$不相交的$A-B$路径。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。