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# 数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Hyperbolic Functions

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## 数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Hyperbolic Functions

As in the real case, we define
\begin{aligned} & \sinh z=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^z-\mathrm{e}^{-z}\right) \ & \cosh z=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^z+\mathrm{e}^{-z}\right) \end{aligned}
for $z \in \mathbb{C}$. Differentiating,
\begin{aligned} & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z} \sinh z=\cosh z \ & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z} \cosh z=\sinh z \end{aligned}
Properties of the hyperbolic functions, analogous to those of trigonometric functions (such as addition formulas for $\sinh \left(z_1+z_2\right)$ ) follow either by direct computation, or by using the obvious identities
\begin{aligned} & \sin \mathrm{i} z=\mathrm{i} \sinh z \ & \cos \mathrm{i} z=\cosh z \end{aligned}

## 数学代写|复分析代写Complex analysis代考|An Analytic Definition of π

Historically the real number $\pi$ was defined as the ratio of the circumference of a circle to its diameter, and only later did its importance for trigonometric functions emerge. We reverse the process, defining $\pi$ analytically and eventually showing in Section 7.1 that our definition agrees with the geometric one.

The idea is to define $\pi / 2$ as the first positive real solution of the equation $\cos x=0$. The problem is to show that there is such a thing.
We know that $\cos$ and $\sin$ are continuous functions. Also,
\begin{aligned} \cos (2) & =1-\frac{2^2}{4 !}+\frac{2^6}{6 !}-\cdots-\frac{2^{4 n-2}}{(4 n-2) !}+\frac{2^{4 n}}{(4 n) !}-\cdots \ & =1-2+\frac{2}{3}-\cdots-\frac{2^{4 n-2}}{(4 n) !}[4 n(4 n-1)-4]-\cdots \ & <1-2+\frac{2}{3}<0 \end{aligned} But $\cos (0)=1$. By the Intermediate Value Theorem, $\cos t_0=0$ for some $t_0 \in(0,2)$. Let $k$ be the greatest lower bound of $\{t \in \mathbb{R}: t>0, \cos t=0}$. By continuity,
$$\cos k=0$$
By the definition of $k$, if $0 \leq x0$.
We define
$$\pi=2 k$$

Then the number $\pi$ has been uniquely defined by the properties $\pi / 2>0, \cos (\pi / 2)=0$ and $0 \leq x<\pi / 2$ implies $\cos x>0$.

Since $\cos (2)<0$, it follows that $0<\pi<4$. This is a crude estimate, and we improve it in Exercises 17 and 18 below.

## 数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Trigonometric Functions

\begin{aligned} \cos z & =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{2 n}}{(2 n) !} \ \sin z & =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{2 n+1}}{(2 n+1) !} \end{aligned}

\begin{aligned} \cos (-z) & =\cos (z) \ \sin (-z) & =-\sin (z) \end{aligned}

\begin{aligned} & \cos (0)=1 \ & \sin (0)=0 \end{aligned}

\begin{aligned} & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z} \cos z=\sin z \ & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z} \sin z=-\cos z \end{aligned}

$$\mathrm{e}^{\mathrm{i} z}=\cos z+\mathrm{i} \sin z$$

$$(\cos z+\mathrm{i} \sin z)^n=\cos n z+\mathrm{i} \sin n z$$

## 数学代写|复分析代写Complex analysis代考|An Analytic Definition of π

\begin{aligned} \cos (2) & =1-\frac{2^2}{4 !}+\frac{2^6}{6 !}-\cdots-\frac{2^{4 n-2}}{(4 n-2) !}+\frac{2^{4 n}}{(4 n) !}-\cdots \ & =1-2+\frac{2}{3}-\cdots-\frac{2^{4 n-2}}{(4 n) !}[4 n(4 n-1)-4]-\cdots \ & <1-2+\frac{2}{3}<0 \end{aligned}但是$\cos (0)=1$。根据中间值定理，$\cos t_0=0$对于一些$t_0 \in(0,2)$。设$k$为$\{t \in \mathbb{R}: t>0, \cos t=0}$的最大下界。通过连续性，
$$\cos k=0$$

$$\pi=2 k$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。